数学教育改革回顾与展望

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1、数学教育改革回顾与展望数学教育改革回顾与展望 周 根 龙 2007年年7月月引言 问题:为什么要对国内外数学教育改革进程回顾？ 投身于改革，致力于改革，要想取得成果，就必须了解改革本身，包括其历史。 认识事物，必须全面。要全面，就必须了解其历史。 “历史是一面镜子”，了解一个事物未来的发展趋势，就必须了解其发展的历史。历史，它既提供经验，也提供教训。 问题:为什么要进行数学教育改革？ 发展是永恒的。改革是发展的一种方式。 改革是社会实践发展的要求。 改革体现某个阶段或阶层的意志。 数学是可误的，那么数学教育改革更有不确定性。 改革必然是螺旋上升的过程。 古代数学教育的形成与发展 中国古代数学教

2、育 我国的数学教育在夏商之际开始萌芽我国的数学教育在夏商之际开始萌芽, ,在西在西周开始形成周开始形成, ,在春秋战国初步定型在春秋战国初步定型. . 官官 学学 独尊儒术独尊儒术 九章算术九章算术 主要特点是：主要特点是：（1 1）开放的归纳体系；）开放的归纳体系；（2 2）算法化的内容；）算法化的内容；（3 3）模型化的方法和独特的计算工具（算筹）。）模型化的方法和独特的计算工具（算筹）。杨辉杨辉 习算纲目习算纲目 教育思想：（1）循序渐进与熟读精思的教学方法；（2）积极诱导，启发思考，重视演题，强调计算能力。（3）重视培养学生“一丝不苟”的科学态度。 古希腊时期的数学教育 几何原本 (1

3、) (1) 封闭的演绎体系封闭的演绎体系(2) (2) 抽象化的内容抽象化的内容(3) (3) 公理化的方法公理化的方法主要特点主要特点: :文艺复兴时期文艺复兴时期人文主义教育的基本特点人文主义教育的基本特点:强调人的作用强调人的作用, ,重视人的能力重视人的能力. .扩大教育对象扩大教育对象, ,创建新型学校创建新型学校. .改革教育内容改革教育内容, ,扩大学科范围扩大学科范围. .改进教学方法改进教学方法. .裴斯泰洛齐的裴斯泰洛齐的数学教育思想数学教育思想: 提倡全面和谐发展的教育提倡全面和谐发展的教育, ,结合直观结合直观性原则、循序渐进原则和一般教学法原性原则、循序渐进原则和一般

4、教学法原理，创立了数学教学法的基础。理，创立了数学教学法的基础。 他他从从儿童的感觉印象出发，进行数学儿童的感觉印象出发，进行数学教育。教育。赫尔巴特赫尔巴特提出教学四阶段：提出教学四阶段：明了明了静态中钻研静态中钻研联想联想动态中钻研动态中钻研系统系统静态中理解静态中理解方法方法动态中理解动态中理解 反对形式陶冶说，主张直观的应用的数学反对形式陶冶说，主张直观的应用的数学教育思想。教育思想。 突出强调：突出强调：讲授数学和物理相互结合，引讲授数学和物理相互结合，引进函数关系，最好从物理学中取材，务使学生进函数关系，最好从物理学中取材，务使学生的生活经验和手工与数学联系起来。的生活经验和手工与

5、数学联系起来。 这些主张开拓了数学教育思想的先河。这些主张开拓了数学教育思想的先河。A A 培利培利克莱因运动（数学教育近代化运动）克莱因运动（数学教育近代化运动） 英国的培利(JPerry，18501920)数学教育史上的若干重大改革运动德国的克莱因(FKlein，1849一1925) 数学教育改革的鲜明主张数学教育改革的鲜明主张 :要从欧几里得原本的束缚中解脱出来；要从欧几里得原本的束缚中解脱出来； 给予实验几何充分的重视；给予实验几何充分的重视； 重视实际的测量问题和近似计算的问题；重视实际的测量问题和近似计算的问题； 充分利用坐标纸；充分利用坐标纸； 增加立体几何增加立体几何( (包括

6、画法几何包括画法几何) )的内容；的内容； 更多地利用几何直观；更多地利用几何直观； 尽早引入尽早引入“微积分微积分”的知识。的知识。 数学教育的作用、目标和意义数学教育的作用、目标和意义 :通过数学教育培养高尚情操和愉悦的心情；通过数学教育培养高尚情操和愉悦的心情； 通过启发学生的主动思考，培养逻辑思维能力；通过启发学生的主动思考，培养逻辑思维能力； 使学生认识到数学是学习、研究自然科学的有力使学生认识到数学是学习、研究自然科学的有力武器。武器。 通过学生亲身动手实验，训练数学技能。通过学生亲身动手实验，训练数学技能。 让每个学生都能像运用自己手脚那样运用数学逻让每个学生都能像运用自己手脚那

7、样运用数学逻辑进行思考，这样将会终身受益，不断进步。辑进行思考，这样将会终身受益，不断进步。 为了防止哲学空洞、抽象的发展，数学应该成为为了防止哲学空洞、抽象的发展，数学应该成为哲学思考的基础，能够给哲学研究者提供迅速、准确哲学思考的基础，能够给哲学研究者提供迅速、准确的逻辑思维方法。的逻辑思维方法。 让从事应用科学的人懂得，数学是应用科学的基让从事应用科学的人懂得，数学是应用科学的基础，数学能够促进应用科学得到发展；础，数学能够促进应用科学得到发展； 教育学生主动地探求事物本身的规律，不固执己教育学生主动地探求事物本身的规律，不固执己见，也不盲从权威；见，也不盲从权威； 数学教学方法方面 :

8、 反对反对“学究式学究式”的教学的教学 , ,提倡结合实提倡结合实际问题进而激发学生学习兴趣的教学方式。际问题进而激发学生学习兴趣的教学方式。 数学学习过程方面 :提倡积极主动，独立思考的学习方式。提倡积极主动，独立思考的学习方式。 19041904年，德国著名数学家克莱因开始发表数学年，德国著名数学家克莱因开始发表数学教育改革的观点并著书立说。教育改革的观点并著书立说。 19071907年出版中等学校的数学教育讲义年出版中等学校的数学教育讲义 数学教育领域进行改革的经典著作数学教育领域进行改革的经典著作 : :19081908年出版高观点下的初等数学年出版高观点下的初等数学 美国数学会主席摩

9、尔美国数学会主席摩尔( (E EH HMooreMoore，18621862191932)32)提出提出“统一数学统一数学”的观点，即把中小学数学的诸多的观点，即把中小学数学的诸多学科融合在一起。在数学教学方法上提倡学科融合在一起。在数学教学方法上提倡“实验室实验室式式”的教学方法。的教学方法。 克莱因倡导用函数概念统一作为教育的数学。克莱因倡导用函数概念统一作为教育的数学。 数学教育应该强调三点：数学教育应该强调三点： 提倡数学理论应用于实际；提倡数学理论应用于实际； 教材内容应以函数概念为中心；教材内容应以函数概念为中心； 应该运用教育学、心理学的观点应该运用教育学、心理学的观点来指导教学

10、活动。来指导教学活动。 中小学数学教育基本方向 :小学：提高几何在小学算术课程中的作用；改变教科书中应用题的性质（使应用题的内容更紧密地联系周围实际情况）；提高算术教学中直观性的作用，等等。在算术、代数、几何和三角之间建立紧密的联系，同时在数学课和物理课之间建立联系；中 学：在中学数学课程中增加高等数学的基础知识，加强初等数学和高等数学之间的联系；在中学数学课程中加强下列主导思想的作用：函数在算术和代数中的作用，运动在几何中的作用，等等；改变教科书中应用题的性质和解法（加强分析和综合的作用）；在数学教学中更广泛地应用探索法，等等。 克莱因的“三点意见”和ICMI的“基本方向”是基本一致的。他们

11、反映和表达了当时数学教育界的共同的先进认识，是改革的主流思想。 这个历史时期的数学教育研究的特点是，由简单的方法研究转到对目的和内容作较全面的探讨。 这一次世界范围的数学教育改革运动成为了20世纪历次数学教育改革的先声和前导。后来人们就称之为“培利运动”或“培利一克莱因运动”。又称数学教育近代化运动。 这是一个巨大的进步。从数学教育理论的观点来看，可以把这个时代叫做“数学教育理论的研究时代”。B.数学教育现代化运动（“新数”运动） 1958年，美国国会通过了国防教育法，在美国政府的资助下成立了规模宏大的“学校数学研究小组（SMSG）”，着手编写从幼儿园到大学预科的统一的现代数学。 美国国家科学

12、院召集35位高层科学家在科德角的伍兹霍尔举行会议，由著名心理学家布鲁纳（J.S.Bruner）担任主席。这次会议分成五个组：第一组讨论“课程设计的程序”；第二组讨论“教学的辅助工具”；第三组讨论“学习的动机”；第四组讨论“直觉在学习和思维中的作用”；第五组讨论“学习中的认识过程”。 全面地研究了中小学数理学科的改革工作，这次会议的精神成了新数运动的指导思想。改革的指导思想是布鲁纳提出的学科结构论。 他说：“不论我们教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。 ” 所谓基本结构是以科学的基本概念为核心，设计一个新的学科结构。 1959 年，布鲁纳发表了教育过程一文，提出四个新的思想：（ 1 ）学

13、习任何学科，务必使学生理解该学科的基本结构，即所谓结构思想； （ 2 ）任何学科的知识都可以用某种方式教给任何年龄的学生，即所谓早期教育思想； （ 3 ）让学生象原来科学家那样去发现所要学习的结论，即所谓发现法； （ 4 ）激发学生学习积极性的首要条件不是考试，而是对数学的真正兴趣。 传统数学教育的弊端传统数学教育的弊端: : 数学教育中缺乏近代和现代的数学思想和方法； 数学教育的内容陈旧。基本上沿袭16世纪前后的内容，特别是几何，基本上是两千年前原本的翻版； 数学内容的编排体系零散。各个学科各自为政，互不联系，缺乏共同的理论基础； 过分强调繁琐的计算和技巧，使得学生学到的数学脱离实际，收效甚

14、微； 教学方法单调； 大学、中学、小学相互脱节。 美国的行动也立即得到欧洲和其他不少地区的响应。美国的行动也立即得到欧洲和其他不少地区的响应。 1959年，欧洲经济共同体OECD）成立了“科技人才组织（OSTP）”，编写出中学数学教育现代化大纲。 1960年，日本数学教育会（JSME）召开全国数学教育研究大会，提出数学教育现代化问题。 1961年，英国剑桥大学等一批学者和教师在南安普敦成立“学校数学设计组（SMP）”，着手编写构思新颖、与旧数教材风格迥异的SMP课本。 比较稳重的苏联，也于1965年成立了以柯尔莫戈洛夫院士为首的委员会，负责制定新的410年级的数学教学大纲，然后根据新大纲编写的

15、课程终于逐步全面取代了使用达半个世纪之久的吉西略夫课本。 其他如非洲、拉丁美洲、东南亚地区也都成立了区域性的机构或召开区域性会议来推进“新数”。 至60年代中期，“新数”确已汇成了一股洪流，它以汹涌澎湃之势冲击旧数，对今后数学教育改革产生了不可估量的影响。 由于人们锐意改革，热情过分高涨，竟对推行“新数”过程中产生的弊端缺乏冷静分析，有的学者如美国数学家、数学史家M.克莱因(M.Kline)在“新数”刚兴起时就提出过警告，但是如浪潮般涌来的赞美声淹没了微弱的警告，“新数”推行者的这种刚愎自用的态度最终导致了70年代新数的急剧衰落和一蹶不振。 共同特点共同特点: : 课程内容结构化。以近代数学中

16、集合、关系、映射、运算、群、环、域向量空间的代数结构为主线，把初等数学统一起来。 强调公理方法。认为代数也应该像几何一样公理化和系统化。 增加现代数学内容。诸如集合、逻辑、群环域、矩阵、向量、微积分、概率统计、计算机科学在许多教材中都有反映。 淡化几何，强化代数。认为原来的欧几里得几何的公理体系是不严谨的，所以与其用不严谨的欧几里得的公理体系训练学生的思维，还不如用数理逻辑、集合论等来训练学生的思维。几何知识可以通过实验几何、解析几何获得。 精简传统数学课程内容。因为需要引进近代和现代数学内容，必然需要对传统内容删减。欧几里得几何内容删减的最多，其次是三角恒等式等内容。 教学方法多样化。追求教

17、学手段的现代化，强调趣味性和直观性，提倡发现法。 从各国改革的程度上看，大致可以分为以下三种类型:类型l：以美国为首的欧洲一些国家，改革力度最大，所编教材力求达到上述的所有要求。 类型2：基本保留传统教材的体系，适当增加一些现代数学的内容。前苏联是这一类型的代表。 类型3：介于前两种类型之间的“中间型”。打破了单科独进的传统教学方式，将传统课程内容重新组合并适当增加新内容编排。 新数学运动使得世界上大部分国家的数学教育新数学运动使得世界上大部分国家的数学教育面貌发生了巨大变化，联合国教科文组织认为这种面貌发生了巨大变化，联合国教科文组织认为这种变化的意义可以概括为以下方面：变化的意义可以概括为

18、以下方面： 数学成为一个开放体系呈现于学生面前； 使得学生对使用的方法有明晰的概念，对归纳法和演绎法的互补作用有所认识； 学生学习数学的动机源自于内部需要，即兴趣； 学生学习的过程从被动地听解释，变为主动地参与问答；课堂教学的组织形式更为多样、灵活；数学知识以螺旋上升的方式呈现；大量运用图像和直观传播物，引出了“数学心理学”的研究。 什么是什么是“新数新数”？ 增加现代数学内容。如集合、逻辑、群环域、矩阵、向量、微积分、概率、统计、计算机科学等在“新数”教材中有不少反映。 强调公理化方法。如美国SMSG几何课本中就有一个由30条公理组成的体系。“新数”的推行者还认为代数也应该和几何一样公理化和

19、系统化。 废弃欧式几何。 强调结构，组成综合的数学课程，用集合、运算、关系和映射等把数学课程统一为一个整体。 消减传统的运算，如繁杂的三角恒等式，象符号游戏一样的分式化简，被认为缺乏应用的实用价值而被删去。 追求新的处理方法，强调趣味性和直观性，提倡发现法。 出现问题出现问题 : 新数学运动过分强调公理化和严谨性，导致学生计算能力的削弱。同时由于许多新数学运动内容学生难以接受，因此新数学运动表现为数学教育质量下降。 贯穿新数学运动课程内容的集合论过于抽象，学生很难理解。 数学教师的水平没有及时跟上，导致实际教学中出现许多形式主义的现象。 新数学运动的更深层的主要原因，是“大学数学课程和中学数学

20、课程的严重脱节”. 随着普及义务教育的推行，越来越多的人接受中等和高等教育。因而，需要改变以往的那种精英式的教育。这就需要从教育的目标、内容和方法等多方面进行全面的反思与改革。 C.C.回到基础回到基础 从70年代起人们提出要“回到基础”，重新重视对学生的基础知识和基本技能的培养。 “回到基础”并不是对以往做法的简单重复，而是在对新数学运动进行反思的基础上的一种再思考。在重视学生基础的同时，也将改革过程中的一些观念渗透到其中。 70年代后期对数学教育的内容和方法又做了调整，总的趋势有以下几点： 回到基础； 强调数学的应用； “恢复几何”； 肯定和加强概率、统计； 提倡搞点“趣味数学”，克服“新

21、数”那种呆板枯燥的形象； 适当采用现代数学的概念、术语和符号。 美国全国数学监察议事会1975年认为基本的数学技能包括十个主要项目： 解答在陌生情况之下所产生的数学问题； 把数学知识应用到日常生活中； 审察所得到的答案是否合理； 估计数量、长度、距离、重量等的近似值； 进行整数、小数、分数和百分数的四则运算； 认识概率在预测偶然事件发生的用途； 认识计算机在社会上的种种用途，并且知道计算机所能做到的和所不能做到的事情。 以公制和英制量度各种分量； 认识简单的几何图形和性质； 制作和理解简单图表； 80年代的数学教育处于一个深入探索、加紧实验的阶段。 几届ICMI会议都把数学课程改革作为中心议题

22、之一，提出了许多有价值的见解，取得了许多有益的成果，为探索面向新世纪的数学课程指明了方向。 D.从“以问题解决为核心”到“面向新世纪” 1.人人算数(Everybody Counts) 学校数学课程和评估的标准 数学教育的四个“社会目标”： 具有良好数学素养的劳动者； 终身学习的能力； 平等的教育； 明智的选民。 五个具体目标：五个具体目标： 学会认识数学的价值； 对自己的数学能力具有信心； 具有数学地解决问题的能力； 学会数学地交流； 学会数学地推理。 2.英国的考克罗夫特报告英国的考克罗夫特报告三个部分构成三个部分构成 :第一部分主要论述学生为什么要学数学，其答案由三种需要构成，即未来生活

23、的需要，就业的需要和进一步学习的需要 ;第二部分论述相应的数学课程和教学方法; 第三部分提出数学教育所需要的条件保证。 数学课程的设置应该适应学生的个别差异 继续推广、完善拓展课程 能力与技能并重 数学考试的改革 广泛使用计算器 主要内容主要内容: :问题解决问题解决 数学教育改革运动的第三次浪潮数学教育改革运动的第三次浪潮“问题解决问题解决”的由来的由来 行动的议程行动的议程-80-80年代数学教育的建议年代数学教育的建议 第四次国际数学教育大会第四次国际数学教育大会 “问题解决是问题解决是8080年代学校数学的核心年代学校数学的核心” “数学课程应当围绕问题解决来组织数学课程应当围绕问题解

24、决来组织” ” “数学教师应当创造一种使问题解决得以数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境蓬勃发展的课堂环境” ” “在问题解决方面的成绩如何，将是衡量数在问题解决方面的成绩如何，将是衡量数学教育成败的有效标准学教育成败的有效标准” 十项十项基本技能基本技能:1.1.解决问题的能力解决问题的能力; ;2.2.把数学应用于日常生活的能力把数学应用于日常生活的能力; ;3.3.对结果合理性的觉察能力对结果合理性的觉察能力; ;4.4.近似估计的能力近似估计的能力; ;5.5.合理计算的能力合理计算的能力; ;6.6.几何结构的能力几何结构的能力; ;7.7.度量的能力度量的能力; ;

25、8.8.阅读、解释、制作图表与框图的能力；阅读、解释、制作图表与框图的能力；9.9.用数学作预报的能力；用数学作预报的能力；10.10.使用计算机的能力。使用计算机的能力。 如何理解作为数学教育改革口如何理解作为数学教育改革口号的号的 问题解决问题解决 ？ 问题解决是数学教育目的之一，且必问题解决是数学教育目的之一，且必须作为一个数学教学目的。须作为一个数学教学目的。 问题解决是数学教学活动的过程。问题解决是数学教学活动的过程。 问题解决是一种数学教学方式。问题解决是一种数学教学方式。 七种转变七种转变 ：1 1、把中小学数学的双重目标、把中小学数学的双重目标多数人学少量多数人学少量数学、少数

26、人学较多数学数学、少数人学较多数学转化为单一目标：转化为单一目标：为全体学生制订一个核心课程；为全体学生制订一个核心课程； 2 2、以教师为中心的、以教师为中心的“灌输式灌输式”的教学方法转变的教学方法转变为以学生为中心的为以学生为中心的“激励学习激励学习”的教学方法；的教学方法； 3 3、公众对数学冷漠和厌烦态度转变为认识数、公众对数学冷漠和厌烦态度转变为认识数学在今日社会中所起的重要作用；学在今日社会中所起的重要作用； 4 4、数学教学要从反复灌输常规技巧转变为培、数学教学要从反复灌输常规技巧转变为培养广泛的数学才能；养广泛的数学才能； 5 5、数学教学要从单纯为后继课程作准备的做、数学教

27、学要从单纯为后继课程作准备的做法转变为强调为适应学生当前的与将来的需要法转变为强调为适应学生当前的与将来的需要上来；上来； 6 6、数学教学要从只做纸笔计算转变为充分使、数学教学要从只做纸笔计算转变为充分使用计算器和计算机上来；用计算器和计算机上来； 7 7、对数学的理解要从把数学看作是由一堆固、对数学的理解要从把数学看作是由一堆固定的、封闭的法则所组成的学科转变为认识到定的、封闭的法则所组成的学科转变为认识到数学是关于关系和模式的科学，是一种不断发数学是关于关系和模式的科学，是一种不断发展的生机蓬勃的科学。展的生机蓬勃的科学。 8080年代以来国际数学教育改革与发展表现为年代以来国际数学教育

28、改革与发展表现为以下几个特征：以下几个特征： 第一、提倡大众数学的理念第一、提倡大众数学的理念; ; 第二、强调培养学生的一般数学素养，让学第二、强调培养学生的一般数学素养，让学生学习有价值的数学生学习有价值的数学; ; 第三、重视计算机（器）等现代科学技术和第三、重视计算机（器）等现代科学技术和手段在数学教育中的运用。手段在数学教育中的运用。 E.E.弗赖登塔尔的数学教育思想弗赖登塔尔的数学教育思想 弗赖登塔尔(HansFreudenthal，1905年出生)是荷兰数学家和数学教育家，国际上最负盛名的数学教育权威，被誉为20世纪下半叶数学教育领域的带头人。 数学现实数学现实 数学教学必须做到

29、“源于现实、寓于现实、用于现实”。 数学教师的任务之一是去了解学生的数学现实，并由此出发组织数学教学。每个人都有自己的数学现实。数学化数学化 与其说让学生学数学，不如说让学生学习数学化； 与其说让学生学习公理系统，不如说让学生学习公理化； 与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化。 所谓数学化的过程，就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程。 这一过程可以分为5个层次：直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段、严谨阶段。 再创造再创造 数学教育的重要原则就是数学教育的重要原则就是“再创造再创造”。 数学是人们常识的系统化，学生数学是人们常识的系统化，学生可以从自己的数学现实中进行

30、再创造，可以从自己的数学现实中进行再创造，从而得出数学成果。从而得出数学成果。 若干启示若干启示:1.1.社会生产实践是任何一次数学教育改革发社会生产实践是任何一次数学教育改革发展最内在最根本的动力。展最内在最根本的动力。 2.2.任何一次重大的数学教育改革都体现出国任何一次重大的数学教育改革都体现出国家或者一定阶层的意志。家或者一定阶层的意志。 3.3.数学科学、数学教育心理学的发展对数学数学科学、数学教育心理学的发展对数学教育改革具有重要的影响。教育改革具有重要的影响。 4.4.社团组织对数学教育改革具有促进作用。社团组织对数学教育改革具有促进作用。 5.5.数学教育现代化是必然趋势。数学教育现代化是必然趋势。6.6.数学教育改革必须立足于本国。数学教育改革必须立足于本国。