《向量组的秩与矩阵的秩》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量组的秩与矩阵的秩（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 定义1 设有向量组：a1 a2 am 如果在中能选出r个 向量a1 a2 ar 满足(1)向量组 a1 a2 ar线性无关 (2)向量组 中任一个向量都可由a1 a2 ar线性表示 那么向量组a1 a2 ar 称为向量组的一个极大线性无关向 量组,简称极大无关组.33 向量组的秩与矩阵的秩一 向量组的秩 注：定义中(2)也可以叙述为(2) 向量组 中任意 r1个向量都线性相关 向量组的极大无关组一般不是唯一的.例如已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 因为a1 a3和a2 a3都是线性无关组 而a1 a2 a3线性相关 所以a1 a3和a2 a3都是向量组a
2、1 a2 a3的极大无关组定义2 向量组：a1 a2 am极大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩 记为r() 或 r(a1 a2 am) 只含零向量的向量组没有极大无关组 规定它的秩为0 已知n维单位坐标向量构成的向量组 E e1 e2 en 是线性无关的例1 全体n维向量构成的向量组记作Rn 求Rn的一个极大 无关组及Rn的秩 解 因此 向量组E是Rn的一个极大无关组 且Rn的秩等于n 又知Rn中的任意n1个向量都线性相关 显然 Rn的极大无关组不唯一 任何n个线性无关的n维向 量都是Rn的极大无关组 推论1 向量组a1 a2 am线性相关的充要条件是r(a1 a2 am)m定理1 向量组
3、a1 a2 am线性无关的充要条件是 r(a1 a2 am)=m定理2 若向量组b1 b2 bl能由向量组a1 a2 am线性表示 则 r(b1 b2 bl) r(a1 a2 am) 推论2 若两个向量组等价，则它们的秩相等.注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性 表示，则这两个向量组等价。例2 设向量组B能由向量组A线性表示 且它们的秩相等 证明向量组A与向量组B等价 证 定义3：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩;矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。例如：矩阵的行向量组是可以证明，是A的行向量组的一个极大无关组，所以矩阵A的行秩为3。二 矩阵的秩 矩阵 A 的列向量组是可以验证线性无关，且所以矩阵 A 的列秩是3。矩阵的秩 = 矩阵的行秩 = 矩阵的列秩.定理5 矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则矩阵A的列向量组与矩阵B的列向量组对应的向量有相同的线性关系.(证略)定理4 矩阵的秩等于它的行向量组的秩 也等于它的列向量组的秩.说明 若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式 则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个极大无关组 Dr所在的r行即是A的行向量组的一个极大无关组 定理3
