《【数学】江苏省南通市高级中学2015届高三一模 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】江苏省南通市高级中学2015届高三一模 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1南通市高级中学 2014-2015 年高三数学一模试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知集合1 3 5 9U ，1 3 9A ，1 9B ，则()UCAB _2 若9z z（其中z表示复数 z 的共轭复数） ，则复数 z 的模为 _ 3 已知函数( )af xx 在1x 处的导数为2，则实数a的值是 _ 4 已知函数2 nya x（*0,nanN）的图象在1x 处的切线斜率为121na（*2,nnN） ，且当1n 时，其图象经过2,8，则7a _ 5 要得到函数sin2yx的函数图象，可将函数sin 23yx 的图象向右
2、至少平移 _ 个单位6在平面直角坐标系 xOy 中， “直线yxb，bR与曲线21xy相切”的充要条件是“ _ ”7 如图，iN表示第 i 个学生的学号，iG表示第 i 个学生的成绩，已知学号在 110 的学生的成绩依次为 401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5 组数据是 _ 8 在ABC 中，若tan:Atan:tan1:2:3BC ，则A _ 9 已知( )yf x是R上的奇函数，且0x 时，( )1f x ，则不等式2()(0)f xxf的解2集为 _ 10设正四棱锥的侧棱长为 1，则其体积的最大值为 _ 11已知平面向量a，b，
3、c满足1a，2b，a，b的夹角等于 3，且() ()0acbc，则c的取值范围是 _ 12在平面直角坐标系 xOy 中，过点11( 0)A x，、22( 0)A x ，分别作 x 轴的垂线与抛物线22xy分别交于点12AA、，直线12A A与 x 轴交于点33( 0)A x ，这样就称12xx、确定了3x同样，可由23xx、确定4x，若12x ，23x ，则5x _ 13定义：minx，y为实数 x，y 中较小的数已知22min 4bhaab， ，其中 a，b 均为正实数，则 h 的最大值是 _ 14在平面直角坐标系 xOy 中，直角三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆22 21 (1)xyaa
4、 上，其中0 1A （，）为直角顶点若该三角形的面积的最大值为27 8，则实数a的值为 _ 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本题满分 14 分）已知函数 2( )sin2 3sin cossinsin 44f xxxxxxxR， （1）求( )f x的最小正周期和值域；（2）若0xx002x 为( )f x的一个零点，求0sin2x的值16 （本题满分 14 分）如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，将正三角形 BCD 沿 BD 向上折起，折起后的点 C3记为C，且CCa （03a） （1）若3 2a ，
5、求二面角 CBDC的大小；（2）当a变化时，线段CC上是否总存在一点E，使得 AC/平面 BED？请说明理由17 （本题满分 15 分）在平面直角坐标系xOy中，设 A、B 是双曲线2 212yx 上的两点，(1 2)M ，是线段 AB的中点，线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点（1）求直线 AB 与 CD 的方程；（2）判断 A、B、C、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由18 （本题满分 15 分）某省高考数学阅卷点共有 400 名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将 400 名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成 269
6、捆文科卷，另一组完成 475 捆理科卷根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作 3 天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作 4 天完成 （假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？4（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作 4.5 天完成，在按（1）分配的人数阅卷 4 天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调 20 名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第 3 位）（参考数据：8076.782119 ，956.78614，3313.34399
7、，1013.53.367301 ）19 （本题满分 16 分）已知函数( )f x的导函数( )fx是二次函数，且( )0fx的两根为1若( )f x的极大值与极小值之和为 0，( 2)2f （1）求函数( )f x的解析式；（2）若函数在开区间(9 9)mm, 上存在最大值与最小值，求实数m的取值范围（3）设函数( )( )f xx g x，正实数 a，b，c 满足( )( )( )0ag bbg ccg a，证明：abc20 （本题满分 16 分）设首项为 1 的正项数列 na的前 n 项和为nS，数列 2 na的前 n 项和为nT，且24() 3n nSpT ，其中p为常数. （1）求p
8、的值；（2）求证：数列 na为等比数列；（3）证明：“数列na，12xna，22yna成等差数列，其中 x、y 均为整数”的充要条件是“1x ， 且2y ”5试题（附加题）21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A （几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 切半圆于点 D，CD=2，DEAB，垂足为 E，且 E 是 OB 的中点，求 BC 的长B （矩阵与变换）已知矩阵122a 的属于特征值b的一个特征向量为1 1 ，求实数a、b的值C （极坐
9、标与参数方程）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点(1 2)A，在曲线22 2 xptypt，（t为参数，p为正常数） ，求p的值D （不等式选讲）设123a aa，均为正数，且1231aaa，求证：1231119.aaa【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22已知函数2( )2(1)ln(1)2f xxxxx，0x ，求( )f x的最大值.623 （1）已知*knN、，且kn，求证：1 1CCkk nnkn ；（2）设数列0a，1a，2a，满足01aa，112iiiaaa（i1，2，3，） 证明：对
10、任意的正整数 n，011222 012( )C (1)C(1)C(1)Cnnnnn nnnnnp xaxaxxaxxax是关于x的一次式7参考答案1. 5； 2. 3； 3. 2； 4. 5； 5. 6； 6. 2b ； 7. 8 361，； 8. 4；9. (0 1)，； 10. 4 3 27； 11. 7373 22， ； 12. 1 2； 13. 1 2； 14. 3答案解析1易得1 3 9ABA，U，则()UAB U5；2. 3zz z；3. 易得2( )afxx ，则(1)2fa ，即2a ；4. 5；5. 将sin 2sin23yxx向右至少平移 个单位得sin2yx；6. 易得1
11、2b ，且0b ，即2b ；7. 打印出的第 5 组数据是学号为 8 号，且成绩为 361，故结果是8 361，；8. 设tan Ak，则tan2Bk，tan3Ck，且0k ，利用tantantantan()1tantanABCABAB 可求得1k ，所以A；9. 易得(0)0f，20xx，故所求解集为(0 1)，；10. 法 1 设正四棱锥的底面边长为x，则体积22422112326xVxxx ，记22ytt，0t ，利用导数可求得当4 3t 时，max32 27y ，此时max4 3 27V ；法 2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为，则22122cossin1sinsin33V ，0，记2
12、1 01yttt ，利用导数可求得当3 3t 时，max2 3 9y ，此时8max4 3 27V ；15命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解能力（1）易得2221( )sin3sin2sincos2f xxxxx1cos213sin2cos222xxx13sin2cos22xx 12sin 262x ， （5 分）所以( )f x周期，值域为3522， ；（7 分）（2）由001()2sin 2062f xx 得01sin 2064x ， （9 分）又由002x得025666x-，所以020 66x-， 故015cos 264x ， （11 分）
13、此时，00sin2sin266xx00sin 2coscos 2sin6666xx31511 4242 153 8 （14 分）16命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力解：（1）连结AC，交BD于点O，连结OC，菱形 ABCD 中，COBD，因三角形 BCD 沿 BD 折起，所以C OBD，故C OC为二面角 CBDC的平面角， （5 分）易得3 2C OCO，而3 2CC ，所以C OC，二面角 CBDC的大小为 ；（7 分）（2）当a变化时，线段CC的中点 E 总满足 AC/平面 BED，下证之：（9 分）9因为 E，O 分别为线段CC，AC 的中点， 所以/OEAC， （11 分）又AC平面 BED，OE 平面 BED， 所以 AC/平面 BED. （14 分）17命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力解：（1）设 A11()xy，则11(24)Bxy， 代入双曲线2 212yx 得2 21 12 21 112 (4)(2)12yxyx，解得110xy=-1，或1134xy ， 即AB、的坐标为1 0（，）、3 4（，），所以AB：1yx，CD：3yx ；（7 分）（2）A、B、C、D 四点共圆，下证之：（9 分）证明：由3yx 与2 212yx 联立方程组可得CD、
