(张文俊)数学欣赏

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1、主讲：张文俊主讲：张文俊深圳大学数学与计算科学学院 张文俊The Beauty of Mathematics The Beauty of Mathematics 数学之美分形动动画数学之美E-mail: E-mail: 1. 三角形（3）三角形的边长关系 任何形状的三角形，其任意两边长 之和一定大于第三边。 为什么？ 两点之间以直线距离最短！ 这一结论构成美国三权分立中权力 分配的理论基础。1. 三角形（4）三角形的内角和 任何三角形三内角之和都是180(=)。1. 三角形因此，在两个直角三角形中，若一个 相应内（锐）角相等，则三角必对应相等 ，因而必是相似三角形，从而对应边之比 就是相等的。

2、 边长相同必形同，角度相同只形似 于是就有了只依赖于角度大小的三角 函数。31. 三角形推广： 一般n边形的内角和：(n-2)。更一般和更本质的结果是： 任何凸n边形的外角和都是360。 （想一想：为什么？）21. 三角形我正 好转 了一 圈2. n边形内角和的应用这是一个广泛适用的公式 ： 一般n边形的内角和：(n-2)2. n边形的内角和的应用（1） 蜂窝中的数 学2. n边形的内角和的应用蜜蜂建造蜂窝是六角柱形 的，这是为什么呢？n边形的内角和公式可以 解释这个原因。Why?2. n边形的内角和的应用拼装技术：房屋装修时， 基本要求是：地砖之间应该严丝合缝 ，既无空白，也无重叠。这种铺拼

3、图案的 方法叫做拼装技术（Tiling）。 附加要求是：地砖应该采用同一种样 式。这种方法叫做一元拼装。如果每一块 地砖都要求是同一种正多边形，这种方法 叫做正规一元拼装。Symmetric Tilings 2. n边形的内角和的应用Periodic Tilings Non-Periodic Tilings2. n边形的内角和的应用Penrose Tilings 2. n边形的内角和的应用2. n边形的内角和的应用能用作正规一元拼装的正多边 形只有三种： 2. n边形的内角和的应用为什么？ 看一个顶点：此处围聚了m个正n 边形。 由于正n边形的一个内角为 ，由此知 (m-2)(n-2)=4，故

4、有n-2 = 1, 2, 4 ，即n = 3, 4, 6。该顶点处各内角之和应是 2 ， 即应该满足 ，2. n边形的内角和的应用三种正规一元拼装 正三角形 -正方形 -正 六边形2. n边形的内角和的应用怎样拼装？2. n边形的内角和的应用蜜蜂的道理：可以用作正规一元拼装的三种正 多边形中，对于给定面积来讲，正六 边形周长最小。2. n边形的内角和的应用蜜蜂知道： 把蜂窝建造成六 角柱形，这样可 以用最少材料、 付出最小的劳动 围出相同的空间 。聪明呀！2. n边形的内角和的应用正六边形还有其它许多优越性或 特点比如： 2. n边形的内角和的应用（2）正多面体的种 类2. n边形的内角和的应

5、用各种各样的多面体2. n边形的内角和的应用各种各样的多面体2. n边形的内角和的应用各种各样的多面体2. n边形的内角和的应用各种各样的多面体2. n边形的内角和的应用各种各样的多面体2. n边形的内角和的应用各种各样的多面体2. n边形的内角和的应用各种各样的多面体2. n边形的内角和的应用各种各样的多面体2. n边形的内角和的应用欧拉公式:任何凸多面体的面数F、边 （棱）数E、顶点数V之间具有一种永 恒的关系F E + V = 2.2. n边形的内角和的应用特殊的多面体正多面体： 正多面体（Regular polyhedron， 或称柏拉图立体 Platonic solid）指各面 都是

6、相同的正多边形的凸多面体。 判断正多面体的依据有三条： 正多面体的面由正多边形构成 正多面体的各个顶角相等 正多面体的各条楞边相等 2. n边形的内角和的应用利用欧拉公式可以简单地 证明， 正多面体只有五种：2. n边形的内角和的应用只要利用n边形的内角和公式 ，也可以简单地证明这个结论。2. n边形的内角和的应用怎么证明？ 看一个顶点：此处围聚了m个正n 边形。 由于正n边形的一个内角为 ，由此知 (m-2)(n-2) 4，从而该顶点处各内角之和应小于 2 ， 即应该满足 ，2. n边形的内角和的应用（m,n）以及正多面体的情况 只能有 （3，3）正四面体； （3，4）正六面体； （4，3）

7、正八面体； （3，5）正十二面体； （5，3）正二十面体。 看清楚一些32. n边形的内角和的应用正四面体（3，3）32. n边形的内角和的应用正八面体（4，3）32. n边形的内角和的应用正二十面体（5，3）32. n边形的内角和的应用正六面体（3，4）32. n边形的内角和的应用正十二面体（3，5）32. n边形的内角和的应用其中 正四、八、二十 面体的各面是正三角形 ；正六面体的各面是正 方形； 正十二面体的各面是 正五边形。22. n边形的内角和的应用这些是基 本三角形这里产生 黄金比例2. n边形的内角和的应用一点历史：关于正多面体，早在古希腊时期 ，毕达哥拉斯学派就已经发现正多面

8、体只有正四、六、八、十二、二十面 体这五种。他们还从宗教的角度据此 解释了他们 “万物皆数”的信条。2. n边形的内角和的应用他们认为： 上帝创造了整数“1”，然后由 “1”生“2”，由“2”生“3”，以 致生出所有的自然数，进而生出所有 的（分）数有理数；再由数生点 ，由点生线，由线生面，由面生体， 由此生出“水、气、火、土”四种元 素，最后生出世间万物物质的和 精神的世界。2. n边形的内角和的应用这里的体，指的是由两种基本三 角形生成的正四、六、八、二十面体 这四种，它们分别代表“火、土、气 、水”四种元素。而正十二面体的各 面由正五边形组成，正五边形是毕达 哥拉斯学派的神秘符号 ，能产

9、生黄金 比例，代表了整个宇宙的和谐之美。2. n边形的内角和的应用火的热令人感到尖锐和刺痛，好 像小小的正四面体。 2. n边形的内角和的应用空气是用正八面体制的，可以粗 略感受到，它极细小的结合体十分顺 滑。 2. n边形的内角和的应用当水放到人的手上，它会自然流 出，水的自然形态接近球形，好像正 二十面体。 2. n边形的内角和的应用一个非常不像球体的立体正 方体，表示地球。（天圆地方） 2. n边形的内角和的应用剩下一个正十二面体，柏拉图以 不太清晰的语调写到：“神使用正十二 面体以整理整个天堂的星座。” 柏拉图 的学生亚里士多德添加了第五个元素 aithr (拉丁文：aether，中文

10、： 以太），并认为天堂是用此组成，但 他没有将以太和正十二面体联系起来 。32. n边形的内角和的应用正多面体的用途 ： 因为正多面体的形状的骰子会较公平 ，所以正多面体骰子经常出现于角色扮演 游戏。 正四面体、立方体和正八面体，亦会 自然出现于结晶体的结构。 正多面体经过削角操作可以得到其他 对称性结构，比如著名的球状分子碳六十 空间结构就是正十二面体经过削角操作得 到的。 22. n边形的内角和的应用正多面体和由正多面体衍生的削 角正多面体大多有很好的空间堆积性 质，即可以在空间中紧密堆积。因此 常常选择正多面体形或者削角正多面 体形的盒子作为分子模拟计算的周期 边界条件。1直角 最基本的

11、三角形 直角三角形3. 直角三角形在三角形中，直角三角形是一 类极端重要的特殊三角形，也是人 类最早认识和感兴趣的一类三角形 ，任何三角形都可以分解为两个直 角三角形。3. 直角三角形勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两 直角边的平方和，即（1）勾股定理是联系数学中 最基本、也最原始的两个对象 数与形的第一定理；3. 直角三角形3. 直角三角形（2）勾股定理导致了不可通 约量的发现，深刻揭示了数与量的 区别，导致了无理数的发现；3. 直角三角形（3）勾股定理开始把数学由 实验数学（计算与测量）阶段转变 到演绎数学（推理与证明）阶段；3. 直角三角形（4）勾股定理的三边关系式是 最早得到完满解答

12、的不定方程， 它 也导致了包括费马大定理在内的各式 各样的不定方程的研究。 3. 直角三角形几何观点几何观点面积面积 在几何方面，一个正实数的平 方代表了以此数为边长的正方形的 面积，而勾股定理表明，以直角三 角形斜边长为边的正方形的面积等 于分别以两直角边为边长的正方形 的面积之和。几何原本的证明3. 直角三角形3. 直角三角形几何原本的证明3. 直角三角形几何原本的证明3. 直角三角形几何原本的证明3. 直角三角形几何原本的证明a2b23. 直角三角形出入相补出入相补3. 直角三角形出入相补出入相补3. 直角三角形出入相补出入相补3. 直角三角形出入相补出入相补c2 a2 + b2 = c

13、23. 直角三角形出入相补出入相补3. 直角三角形出入相补出入相补3. 直角三角形出入相补出入相补美国宇航局在1972 年3月2日发射星际 飞船“先锋10号” 带着证明勾股定理 的“出入相补图” 飞向太空。3. 直角三角形代数观点不定方程： 求以下不定方程的正整数解3. 直角三角形公元7世纪初，印度数学家给 出了下述统一解：其中m，n互素，且奇偶性不同。3. 直角三角形特征美： 在边长是整数的直角三角形中1)勾股中必有一个数是3 的倍数；2)勾股中必有一个数是4的倍数；3)勾股弦必有一个数是5 的倍数；3. 直角三角形4)不存在勾股同是奇数而弦 为偶数的配合；5)弦与勾股中某一数之和、 之差均

14、为完全平方数；6)弦与勾股中某一数之算术 平均为完全平方数。33. 直角三角形引申：费马大定理 方程没有正整数解。23. 直角三角形1994年，英国青年数学家 Andrew Wiles（1953-）证明了 这一猜想。他的证明，得益于法国 数学家笛卡尔建立的解析几何，该 方法使代数问题与几何问题可以互 化，因此代数问题转化为几何问题 研究。 1坐标 坐标与距离, 神奇的单位圆与三角函数4-1 坐标与距离17世纪法国数学家笛卡儿引 入坐标系的观念，创立了解析几何 ，将几何问题转化为代数问题研究 。平面图形可以通过方程或不等式 来描述。根据勾股定理，坐标平面 上两点(x1,y1),(x2,y2)之间

15、的距离为4-1 坐标与距离圆（单位圆）的 方程为圆的高度对称性 在这里得到了充分的 体现。14-2 神奇的单位圆与三角函数古希腊毕达哥拉斯学派认为： “一切立体图形中最美丽的是球形 ，一切平面图形中最美丽的是圆形 ”。4-2 神奇的单位圆与三角函数圆形在自然界中随处可见；圆具有高度的对称性，匀称、 稳定、和谐。4-2 神奇的单位圆与三角函数从动的眼光看，大至宇宙、小至粒 子，都有圆的痕迹：星球及其运动轨道 ，下落中的水滴，石块投入水面产生的 波纹，树干的截面等。从静的眼光看，圆具有高度的对称 性，其形状增之嫌多，减之嫌少，唯此 最为完备，匀称、稳定、和谐。4-2 神奇的单位圆与三角函数单位圆作

16、为一种特殊的圆，沟 通了解析几何、三角函数、平面几 何、初等代数、复变函数的深刻联 系，体现了数学结构的和谐与一致 性。 14-2 神奇的单位圆与三角函数利用单位圆中的有向线段定义的三 角函数，具有鲜明的直观性。圆方程直接孕育着三角恒等式众多的三角恒等式都借助于单位圆的匀称、 稳定与和谐而显现出其对称、和谐之美。 4-2 神奇的单位圆与三角函数4-2 神奇的单位圆与三角函数单位圆周上的复数1-ii-134-2 神奇的单位圆与三角函数1748年欧拉发现的欧拉公式 把所有的三角公式都包括进去了 。比如24-2 神奇的单位圆与三角函数欧拉公式也在复数域内把三角函 数都归结为指数函数，从而所有的初 等函数都归结为指数函数及其反函数 的加