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1、第9课时 函数与方程1.函数的零点 (1)对于函数yf(x)，我们把 使f(x)0的实数x叫做函数yf(x) 的 (2)方程f(x)0有解函数y f(x)的图象 函数y f(x)有零点基础知识梳理零点与x轴有交点基础知识梳理1.所有的函数都有零点吗？ 【思考提示】 并非任意 函数都有零点，只有f(x)0有根 的函数yf(x)才有零点(3)如果函数yf(x)在区间a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有 ，那么函数yf(x) 在区间 内有零点，即存在c(a ，b)，使得 ，这个 也就是方 程f(x)0的根基础知识梳理f (a)f(b)0且a1)有两个零点 ，则实数a的取值范围是_ 答案：a
2、1三基能力强化函数零点个数的判定有下列几 种方法： (1)直接求零点：令f(x)0，如 果能求出解，则有几个解就有几个 零点课堂互动讲练考点一函数的零点(2)零点存在性定理：利用该定 理不仅要求函数在a，b上是连续的 曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函 数的图象和性质(如单调性)才能确定 函数有多少个零点课堂互动讲练(3)画两个函数图象，看其交 点的个数有几个，其中交点的横 坐标有几个不同的值，就有几个 不同的零点课堂互动讲练课堂互动讲练例例1 1判断下列函数在给定区间上是否存 在零点 (1)f(x)x23x18，x1,8； (2)f(x)x3x1，x1,2； (3)f(x)log2(x
3、2)x，x1,3【思路点拨】 判定函数在端 点处的函数值正负，然后判断是否 存在零点课堂互动讲练【解】 (1)法一：因为f(1) 200， 所以f(1)f(8)0， f(1)f(2)log22 10. f(3)log2(32)30， 所以函数在(0,1)内存在零点， 即方程2x33x30在(0,1)内有解 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在 (0.5,1)内有解，课堂互动讲练如此继续下去，得到方程的一个实 数解所在的区间，如下表.课堂互动讲练至此，可以看出方程的根落在 区间长度小于0.1的区间(0.6875,0.75) 内，可以将区间端点0.6875作为函
4、数 f(x)零点的近似值因此0.6875是方 程2x33x30精确度为0.1的一个 近似解课堂互动讲练【思维总结】 求函数零点的 近似值的关键是利用二分法求值过 程中，区间长度是否小于精确度 ，当区间长度小于精确度时，运 算即告结束课堂互动讲练有些问题利用零点求参数的范 围，可利用方程，但有时不易甚至 不可能解出，而转化为构造两函数 图象求解，使得问题简单明了这 也体现了当不是求零点，而是求零 点的个数，或有零点时求参数的范 围，一般采用数形结合法求解课堂互动讲练考点三函数零点的综合应用课堂互动讲练例例4 4(解题示范)(本题满分12分)(1)若g(x)m有零点，求m的取 值范围； (2)确定
5、m的取值范围，使得g(x) f(x)0有两个相异实根【思路点拨】 (1)g(x)m有零 点，可以结合图象也可以解方程 (2)利用图象求解课堂互动讲练课堂互动讲练等号成立的条件是xe， 3分 故g(x)的值域是2e，)， 因而只需m2e，则g(x)m就有 零点. 5分课堂互动讲练3分 可知若使g(x)m有零点，则 只需m2e. 5分课堂互动讲练(2)若g(x)f(x)0有两个相异的 实根， 即g(x)f(x)中g(x)与f(x)的图象有 两个不同的交点课堂互动讲练f(x)x22exm1 (xe)2m1e2.课堂互动讲练其图象对称轴为xe，开口 向下，最大值为m1e2. 10分 故当m1e22e，
6、 即me22e1时， g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)f(x)0有两个相异实 根 m的取值范围是(e22e 1，). 12分【误区警示】 在讨论g(x) f(x)0有两个相异实数根时，求 g(x)的最小值小于f(x)的最大值时 不能取到等号课堂互动讲练(本题满分12分)若函数f(x) |4xx2|a，求满足下列条件a 的值 (1)有两个零点； (2)有三个零点； (3)无零点； (4)有四个零点课堂互动讲练高考检阅高考检阅解：函数f(x)|4xx2|a有零点， 等价于|4xx2|a0有实根，即|4xx2| a有实根，令g(x)|4xx2|，h(x) a， 则上述问题等价于g(x)与h
7、(x)有交点 ，故作出g(x)的图象，由图象可知：课堂互动讲练课堂互动讲练(1)当-a=0或-a4，即a=0或 a-4时， g(x)与h(x)有两个交点，即 f(x)有两个零点； 4分 (2)当a4，即a4时 ，h(x)与g(x)的图象有三个交点 ，即f(x)有三个零点. 6 分课堂互动讲练(3)当a0，即a0时，g(x) 与h(x)图象无交点； 即f(x)无零点. 8分 (4)当0a4，即4a0 时，g(x)与h(x)图象有四个交点， 即f(x)有四个零点. 10分综上所述：(1)当a0或a4时， f(x)有两个零点 (2)当a4时，f(x)有三个零点； (3)当a0时，f(x)无零点 (4
8、)当4a0时，f(x)有四个零点. 12分课堂互动讲练1函数零点的理解 (1)函数的零点、方程的根、函数 图象与x轴的交点的横坐标，实质是 同一个问题的三种不同表达形式，方 程根的个数就是函数零点的个数，亦 即函数图象与x轴交点的个数规律方法总结(2)变号零点与不变号零点 若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值 异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点 若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值 同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点 若函数f(x)在区间a，b上的图象是一 条连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间(a ，b)内有零点的充分不必要条件规律方法总结2用二分法求曲线交
9、点的坐标应 注意的问题 (1)曲线交点坐标即为方程组的解， 从而转化为求方程的根 (2)求曲线yf(x)和yg(x)的交点的 横坐标，实际上就是求函数yf(x) g(x)的零点，即求f(x)g(x)0的根规律方法总结3用二分法求函数零点近似值的 步骤须注意的问题 (1)第一步中要使：区间长度尽 量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算 且f(a)f(b)0. (2)根据函数的零点与相应方程根 的关系，求函数的零点与求相应方程 的根是等价的对于求方程f(x)g(x) 的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x) ，函数F(x)的零点即为方程f(x)g(x) 的根规律方法总结随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练点击进入点击进入
