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1、第5章回归模型的函数形式Essentials of Econometrics回归模型的函数形式第5章9-2本章讨论以下几种形式的回归模型(1) 双对数线性模型或不变弹性模型(2) 半对数模型(3) 倒数模型(4) 多项式回归模型(5) 过原点的回归模型，或零截距模型9-35.1 如何度量弹性：双对数模型回顾数学S.A.T函数一例，建立了家庭收入(x)与数 学S.A.T成绩(Y)的双变量线性回归模型：对于变量之间是线性的模型来说，解释变量每变 动一个单位，应变量的变化率为一常数。9-45.1 如何度量弹性：双对数模型u能否使用如下的指数形式来描述数学S.A.T成绩 (Y)与家庭收入(X)的关系呢
2、?两边求对数：令9-55.1 如何度量弹性：双对数模型n 得到模型-“双对数线性模型”问题：这样一个非线性模型是如何通过适当变换成为线性模型的呢？n下面进行对数变换，令 9-65.1 如何度量弹性：双对数模型双对数模型中斜率 的经济意义： 在双对数模型中，X变化1%引起Y变化 %9-75.1 如何度量弹性：双对数模型n 双对数线性模型的特点-不变弹性模型n 定义弹性E为：9-85.1 如何度量弹性：双对数模型图5-1 不变弹性模型9-95.1 如何度量弹性：双对数模型例5.1 数学S.A.T分数函数9-105.1 如何度量弹性：双对数模型数学S.A.T分数函数取对数后的Excel数据9-115
3、.1 如何度量弹性：双对数模型数学S.A.T分数函数取对数后的Eviews数据9-125.1 如何度量弹性：双对数模型图5-2数学S.A.T分数的双对数模型散点图 9-135.1 如何度量弹性：双对数模型数学S.A.T分数函数取对数后的回归过程9-145.1 如何度量弹性：双对数模型数学S.A.T分数函数取对数后的回归结果9-155.1 如何度量弹性：双对数模型就假设检验而言，线性模型与对数线性模型并没有 什么不同。在随机误差项服从正态分布(均值为0，方 差为 )的假定下，每一个估计的回归系数均服从正态 分布。或者，如果用 的无偏估计量代替它，则每一个 估计的回归系数服从自由度为(nk)的t分
4、布，其中k为 包括截距在内的参数的个数。双对数线性模型的假设检验9-165.2 比较线性和双对数回归模型n回归模型的函数形式成为一个经验性问题。 在模型选择过程中，要遵循哪些经验规律呢 ？9-175.2 比较线性和双对数回归模型9-185.2 比较线性和双对数回归模型= 432.4138+0.0013XiSe= (16.9061)(0.000245) t= (25.5774)(0.0006) r2=0.7869P值=（5.85*10-9）（0.0006） d.f.=89-195.2 比较线性和双对数回归模型n n 如何来选择模型如何来选择模型规律之一是根据数据作图。如果散点图表 明两个变量之间
5、的关系近似线性的(也即是一 条直线)，那么假定模型是线性的就比较合适 。但如果散点图表明变量之间的关系是非线 性的，则需要作lnY对lnX的图形，如果这个 图形表明它们之间是近似线性的，则假定模 型是对数线性模型就比较合适。(只适用于双 变量的情况)9-205.2 比较线性和双对数回归模型n 能否用判定系数R2来选择模型?如果两个模型的被解释变量形式是相同的,可用 作为 选择标准。但下列两模型, 度量的意义不同不能根据最高 值这一标准(high value criterion)来 选择模型9-215.2 比较线性和双对数回归模型对线性模型而言，其弹性系数随着需求曲线 上的点的不同而变化，而对双
6、对数模型而言， 它在需求曲线上任何一点的弹性系数都是相同 的。因此，在这两类模型之间进行选择模型时 ，我们可以根据这个特点作出判断。9-225.2 比较线性和双对数回归模型9-235.2 比较线性和双对数回归模型根据上表，我们知道数学S.A.T分数函数9-245.3 多元对数线性回归模型假设建立如下随机多元指数模型：通过对原模型的对数变换，随机函数形式可变为：令变量 ， 则回归函数可变为：根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到：因此可得到原模型的估计方程：9-255.3 多元对数线性回归模型偏斜率系数 B2、 B3又称为偏弹性系数, B2是Y 对X2的弹性(X3保持不变,为一常量)， X2
7、每变动 1%，Y变动的百分比。同样, B3是Y对X3的弹性(X2保持不变,为一常量 ) ，X3每变动1%，Y变动的百分比。9-26p 三变量对数线性模型 偏弹性系数p一个典型适用点：柯布-道格拉斯生产函数 规模报酬递减 规模报酬递增 规模报酬不变5.3 多元对对数线线性回归归模型9-275.3 多元对数线性回归模型n 例5-2 柯布-道格拉斯生产函数（C-D函数）其中， Y-表示产出，L-表示劳动投入，K-表示资本投入。 两边取对数后:得到原模型的估计方程：因此，C-D 函数的估计形式为：9-285.3 多元对数线性回归模型例5-2 excel原始数据表9-295.3 多元对数线性回归模型例5
8、-2 取对数后Eviews数据表9-305.3 多元对数线性回归模型例5-2 C-D函数Eviews回归过程9-315.3 多元对数线性回归模型例5-2 C-D函数Eviews回归结果9-325.3 多元对数线性回归模型表5-3 OECD国家的能源需求（1960-1982）例 5-3 OECD国家的能源需求（1960-1982）9-335.3 多元对数线性回归模型9-345.3 多元对数线性回归模型9-355.4 如何测度增长率：半对数模型通常经济学家、工商业家和政府对某 一经济变量的增长率很感兴趣。比如说， 政府预算赤字规划就是根据预计的GNP增 长率这一最重要的经济活动指标而确定的 。类似
9、地，联储根据未偿付消费者信贷的 增长率(自动贷款、分期偿还贷款等等)这 一指标来监视其货币政策的运行效果。9-36p经济变量增长率：监控经济运行状况p考察对象： 伴随解释变量（时间）的增加，应变 量的增长率 5.4 如何测测度增长长率：半对对数模型9-375.4 如何测度增长率：半对数模型测度增长率的方法两边求对数：引入误差项称为半对数模型9-385.4 如何测度增长率：半对数模型在对数线性模型中，X变化一个单位（ =1） 引起Y的变化为100* %对数-线性模型中斜率 的经济意义： 9-395.4 如何测度增长率：半对数模型 9-405.4 如何测度增长率：半对数模型例5-4 1975-20
10、07年美国人口取对数的数据9-415.4 如何测度增长率：半对数模型例5-4 1975-2007年美国人口取对数后对时间的散点图图5-3 半对数模型9-425.4 如何测度增长率：半对数模型例5-4 1975-2007年美国人口取对数后对时间的回归结果9-435.4 如何测度增长率：半对数模型n 斜率0.0107表示：平均而言，lnY的相对变化率为 0.0107, Y的年增长率为1.07%。 n 因此，半对数模型又被称为增长模型，通常用此 模型来测量许多变量的增长率。 n 对截距5.3593解释如下：9-445.4 如何测度增长率：半对数模型5.4.1 瞬时增长率与复合增长率1. 根据半对数模
11、型求得：lnY的相对变化率为0.0107，Y 的年增长率为1.07%。2. 由于 b2 = B2 的估计值=ln(1+r)所以 antilog(b2)=（1+r)r=antilog(b2)-1 =antilog(0.0107)-1=1.0108-1=0.010757在样本区间内,美国人口年复合增长率为1.0757%.3.两增长率的区别9-45p 线性趋势模型 Y 对时间t 回归，t 按时间顺序度量 t 称为趋势变量(trend variable) 斜率为正，称Y 有向上趋势；反之 ，有下降趋势。 p 增长率模型与线性趋势模型的比较5.4 如何测测度增长长率：半对对数模型9-465.4 如何测度
12、增长率：半对数模型例5-4 1975-2007年美国人口对时间的线性趋势模型回归结果9-475.5 线性-对数模型：解释变量是对数形式n 线性-对数模型（lin-log model）n 例 5.5 个人总消费支出与服务支出的关系（ 1970-2006，1992年美元价，10亿美元）9-485.5 线性-对数模型：解释变量是对数形式如果个人消费支出每增 加增加1个百分点，则平 均服务支出将增加18.44 （10亿美元）9-495.5 线性-对数模型：解释变量是对数形式线性-对数模型中斜率 的经济意义： 9-505.6 倒数模型n 这个模型的一个显著特征是，随着X的无限增 大，( 1 /Xi )将
13、接近于零，Y将逐渐接近B1渐 进值(asymptotic value)或极值。因此，当 变量X无限增大时，形如上的回归模型将逐渐 靠近其渐进线或极值。9-515.6 倒数模型图5-4 倒数模型：9-52n 菲利普斯曲线之失业率与货币工资变化率之间的关系。可 称之为“失业工资”菲利普斯曲线。这是由当时在英国从 事研究的新西兰经济学家菲利普斯本人于1958年最早提出 的。n 其表现形式是：在以失业率为横轴、货币工资变化率为纵 轴的坐标图上，由右下方向左上方倾斜的、具有负斜率的 一条曲线。它表明：失业率与货币工资变化率二者呈反向 的对应变动关系，即负相关关系。当失业率上升时，货币 工资变化率则下降；
14、当失业率下降时，货币工资变化率则 上升。5.6 倒数模型9-535.6 倒数模型9-545.6 倒数模型例5-6 1958-1969年美国的菲利普斯曲线倒数模型9-555.6 倒数模型例5-6 1958-1969年美国小时收入指数和城 市失业率的年变化率线性模型9-565.6 倒数模型9-575.6 倒数模型9-585.6 倒数模型9-595.7 多项式回归模型令变量 ，同样可以进行参数的OLS估计。模型的函数为：9-605.7 多项式回归模型图5-8 成本产出关系 9-61例5-8假想的总成本函数回归结果5.7 多项式回归模型9-625.7 多项式回归模型例5-9吸烟与肺癌回归结果9-635
15、.8 过原点的回归n 过原点的回归（regression through the origin）只有在充分理论保证下才能使用零截距模型，比如奥肯定 律或其他经济和金融理论。解释变量之间为函数相关，但非“线性相关”9-645.9 关于度量比例和单位的说明9-655.9 关于度量比例和单位的说明9-665.9 关于度量比例和单位的说明 第一：所有回归的 相同，这也不足为奇。 第二：截距的单位总是与应变量相同。 第三：如果应变量和自变量的度量单位相同 ，则斜率系数及其标准误差相同，但截距及 其标准误差不同。 第四：如果应变量和自变量的度量单位不同 ，则斜率系数不同，但截距不变。9-675.10 函数形式小结弹性9-68第5章习题n5.11；5.12；5.13；5.17；5.18
