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1、信号与系统第三章 泛函分析初步1第三章 泛函分析初步 3.1 线性空间 3.2 线性子空间 3.3 距离空间 3.4 Banach空间 3.5 Hilbert空间 3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 23.1 线性空间 线性空间：设W（W为非空集合） (1) W中元对“+”构成交换群，即对 X,Y,ZW, 有 . . . .33.1 线性空间 (2)对 X,YW， ,C（复数域）有：.称W为线性空间；若,C ，则W为复线性空 间；若,R，则W为实线性空间。43.1 线性空间 53.1 线性空间 线性空间W上的算子L为线性算子 零状态线性系统系统算子为线性算子63.2 线性子空间 线性子空间
2、：设 V W， V是W的线性 子空间 直和：设73.3 距离空间（度量空间 Metric Space） 距离空间：设W ，称W为距离空间，指在 W中定义了映射： （包括0）， X,YW 满足以下三条公理： 称为W上的距离， 为度量空间。 83.3 距离空间 例： 例：93.3 距离空间 例：103.3 距离空间收敛 收敛： 定理：在 中，每个收敛点列有唯一的 极限点。 113.3 距离空间完备度量空间 柯西序列Cauchy Sequence 例：123.3 距离空间完备度量空间 中任意收敛序列是柯西序列 中的柯西序列未必收敛到 中 例：133.3 距离空间完备度量空间 完备度量空间Comple
3、te Metric Space 称为完备度量空间，指其中所有柯 西序列都收敛。 极限运算在完备时可行 如何完备化？ W不要求线性空间143.4 巴拿赫（Banach）空间 153.4.1 赋范线性空间 赋范线性空间：设W是线性空间，若对 XW， X 满足：称为X的范数（Norm），定义了范数的线 性空间称为赋范线性空间，记为 。163.4.1 赋范线性空间 （广义）长度的推广： 例1：173.4.1 赋范线性空间 （广义）长度的推广： 例2：183.4.1 赋范线性空间 Minkowski不等式： 193.4.1 赋范线性空间 203.4.1 赋范线性空间 例 213.4.1 赋范线性空间 强
4、收敛： 弱收敛：依泛函收敛。 注：强收敛弱收敛。223.4.1 赋范线性空间 度量空间与赋范线性空间的关系： 例 233.4.2. Banach空间 Banach空间：完备的 称为Banach 空间。 是Banach空间。 在 中，取 完备。 243.4.2. Banach空间 定理：若 Hlder不等式： 证明思路：253.5 Hilbert空间 263.5.1 内积空间 内积：设W为实或复线性空间，若对 X,Y,ZW,C，均有一个实数或复数与之对 应，记为X,Y，满足： 则称X,Y为X与Y的内积，定义了内积的空间 为内积空间。 273.5.1 内积空间 注： 例子： 283.5.1 内积空
5、间 例子： 293.5.2 Hilbert空间 定义欧氏范数 ，则内积（线性 ）空间成为赋范线性空间。 Hilbert空间：依欧氏范数 完备 的内积空间称为Hilbert空间。 有限维内积空间必完备： 完备。 完备，定义内积 。 H空间是能量有限信号的集合。303.5.2 Hilbert空间 Cauchy-Schwarz不等式：W为内积空间， X,YW，有 注： 1.在Hlder不等式中，取 ，就成为 Cauchy-Schwarz不等式。 2.在 空间中，有Cauchy不等式： 3.在 空间中，有Schwarz不等式： 313.5.3 线性泛函 算子Operator：X,Y为线性空间，算子：其
6、中， 为定义域， 为值域。 323.5.3 线性泛函 泛函Functional：值域是实复数域的算 子为泛函。 注：定积分，距离，范数，内积， 函数（第三 种定义），（普通）函数均为泛函。 线性算子： X,Y为线性空间， ，若对 ，有：则T为线性算子。333.5.3 线性泛函 线性泛函：线性算子T的值域为实复数集。 距离、范数是泛函，但非线性泛函。 连续线性算子T 线性算子：有界连续 内积为连续线性泛函 积分算子343.6 完备规范正交集上广义傅 里叶展开 353.6.1 正交Orthogonal 正交：在内积空间W中，若 ，满足 ： ，则称 正交，记为： 。其中k为常数， 为Kronecke
7、r符号 正交（子）集： 中任意两个元正交。 363.6.1 正交 集正交：若 正交补： 规范正交完备集V： 1. （完备性） 2. （规范正交） 373.6.1 正交 定理：Hilbert空间存在规范正交完备集。 定理：W是Hilbert空间， ，V是W的 正交子集。383.6.2正交投影Orthogonal Projection 正交投影： W是Hilbert空间， 在V上的 正交投影或投影，记为： 。 注： 的距离最小，即正交投影使均方误差最 小化。 393.6.3 广义傅里叶展开 广义傅里叶展开：设 是H空间W的 规范正交完备集，则对为广义傅里叶系数。 注： 是Hilbert空间W的规范且完备的一 组基。 是 X 在 上的投影。403.6.3 广义傅里叶展开 Parseval等式：设 ，则 物理解释：信号的总能量各个分量的能 量的和。 几何解释：广义勾股定理。413.6.3 广义傅里叶展开 用N项广义傅里叶展开逼近X：设 是Hilbert空间W的规范正交完备 集，X在 上的投影： 。这里 规范正交，但不完备。 42结束43
