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1、多自由度系统振动多自由度系统振动第四章第四章2 2* 1振动力学 作用力方程作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换耦合与坐标变换 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 2振动力学小结：可统一表示为： 例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量质量矩阵刚度矩阵激励力向量若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程作用力方程Date 3振动力学小结：多自由度系统振动
2、/ 多自由度系统的动力学方程刚刚度矩阵阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单 位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。 质质量矩阵阵 M 中的元素 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单 位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的 物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这 种方法称为影响系数方法。刚度矩阵和质量矩阵第j个坐标产 生单位位移刚度矩阵第j 列系统刚度矩 阵j=1n确定第j个坐标单 位加速度质量矩阵第j 列系统质量矩 阵j=1n确定Date 4振动力学例：多自由度系统振动 / 多自由度系统的
3、动力学方程两个均匀刚刚性杆如图图所示，具有相同长长度但不 同质质量，使用影响系数法求系统统运动动方程。 杆1、杆2绕绕其固定点 的惯惯性矩分别为别为 ：提示：质质量矩阵阵： Date 5振动力学多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程解：使用影响系数法计计算系统刚统刚 度阵阵 （1） 如图图所示，令 ， ，对对杆1和杆2 分别别需要施加弯矩 ， 分别为别为 ：（2） 如图图所示，令 ， ，对对杆1和杆2分 别别需要施加弯矩 ， 分别为别为 ：运动动微分方程： Date 6振动力学例：两自由度系统统摆长摆长 l，无质质量，微摆动摆动求：运动动微分方程xm1k1k2多自由度系统振动 / 多自
4、由度系统的动力学方程Date 7振动力学解：先求解刚刚度矩阵阵令：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程x方向力平衡A点力矩平衡m1k1k2刚刚度矩阵阵第一列：需要施加的力和矩Ax静态态平衡Date 8振动力学解：令：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程x方向力平衡A点力矩平衡刚刚度矩阵阵第二列：需要施加的力和矩m1k1k2 AxDate 9振动力学多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程xm1k1k2刚刚度矩阵阵第一列：刚刚度矩阵阵第二列：系统刚统刚 度矩阵阵：Date 10振动力学求解质质量矩阵阵令：令：m1k1k2惯性力多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方
5、程瞬时动态时动态m1k1k2惯性力惯性力Date 11振动力学质质量矩阵阵：xm1k1k2刚刚度矩阵阵：运动动微分方程：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 12振动力学 位移方程和柔度矩阵对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些 。柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形。物理意义及量纲与刚度恰好相反。 以一个例子说明位移方程的建立 x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化 ）假设设是常力 以准静态方式作用在梁上。 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。 取质质量的静平衡位置为为坐标标的原点。
6、 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 13振动力学m1 位移：m2 位移：时时（1）时时（2）m1 位移：m2 位移：同时时作用（3）m1 位移：m2 位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 14振动力学同时时作用时时：矩阵形式：柔度矩阵物理意义义： 系统仅统仅 在第 j 个坐标标受到单单位力作用时时相应应于第 i 个坐标标上产产生的位移 柔度影响系数 f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 15振动力学当 是
7、动载动载 荷时时集中质质量上有惯惯性力存在 位移方程x1m1x2m2P1P2 m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 16振动力学m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程也可按作用力方程建立方程：若K非奇异位移方程：柔度矩阵阵与刚刚度矩阵阵的关系：刚刚度矩阵阵Date 17振动力学对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在。应当注意：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。m1m2k1k2 m3原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算
8、各个坐标上的位移。刚度矩阵 K 奇异多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 18振动力学例： 教材 P72 例4.1-2，求柔度阵。 （1）在坐标 x1 上对质量 m1 作用单位力:系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为: m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：（2）在坐标 x2 上对质量 m2 作用单位力:（3）在坐标 x3 上对质量 m3 作用单位力：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 19振动力学柔度矩阵：可以验证，有：m1m2k1k2m3k3x1x2x3多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 20振动力学例： 求柔度阵。 多自由
9、度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程解：Date 21振动力学多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 22振动力学小结：位移方程和柔度矩阵多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程位移方程物理意义义：系统仅统仅 在第 j 个坐标标受到单单位力作用时时 相应应于第 i 个坐标标上产产生的位移. 柔度影响系数 柔度矩阵阵与刚刚度矩阵阵的关系：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。若K非奇异作用力方程Date 23振动力学 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵 A 正定并且等号仅仅在时时才成立。 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有
10、成立。如果时时，等号也成立，那么称矩阵阵 A 是半正定的。 根据分析力学的结论，对于定常约束系统： 动能：势能：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 24振动力学 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵 A 正定并且等号仅仅在时时才成立 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立如果时时，等号也成立，那么称矩阵阵 A 是半正定的。 动能：除非所以，正定多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 25振动力学 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵 A 正定并且等号仅仅在时时才成立 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立如果时时，等号也成立，那么称矩阵阵 A
11、 是半正定的。 势能：对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值。 V 0 当各个位移不全为为零时时， K 正定对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移。对于不全为零的位移 存在 V 0 K 半正定多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 26振动力学振动问题中主要讨论 K 阵正定的系统及 K 阵半正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半正定振动系统 。多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 27振动力学 耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。以两自由度系统为
12、例:不存在惯性耦合存在惯性耦合多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 28振动力学如果系统仅在第一个坐标上产生加速度不出现惯性耦合时，一个坐标上 产生的加速度只在该坐标上引起 惯性力.同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐 标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力.耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程耦合非耦合出现惯性耦合时，一个坐标上产 生的加速度还会在别的坐标上引 起惯性力.Date 29振动力学例：研究汽车上 下振动和俯仰振动 的力学模型。表
13、示车体的刚性杆 AB的质量为m，杆 绕质心C的转动惯 量为Ic。悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示。写出车体微振动的微分方程。选取D点的垂直位移 和绕D点的角位移 为坐标。ABCDa1a2el1l2lk1k2多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 30振动力学ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 31振动力学首先求刚度矩阵令：对D点取矩：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程车体所受外力向D点简
14、化为 合力 PD 和合力矩 MD 。微振动，杆质心的垂直位移 、杆绕质心的角位移：Date 32振动力学令：对D点取矩：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD刚度矩阵：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 33振动力学求质量矩阵令：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD惯性力质心C所受的惯性力：力平衡：力矩平衡：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 34振动力学令： ABCDa1a2el1l2lk1k2质心C所受的惯性力矩：力平衡：对D点取矩：CD惯性力矩惯性力质心C所受的惯性力：质量矩阵：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date
15、35振动力学质量矩阵刚度矩阵运动微分方程多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程：作用在D点的外力合力和合力矩 Date 36振动力学如果D点选在这样一个特殊位置，使得：ABCDa1a2el1l2lk1k2只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 37振动力学如果D点选在质心C：ABCDa1a2el1l2lk1k2只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 38振动力学问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？即：若能够，则有：方程解耦，变成了两个单自由度问题。使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 39振动力学讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？ABCDa1a2el1l2lk1k2选取D点的垂直位移及角位移作为坐标;选取质心C点的垂直位移及角位移作为坐标;多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 40振动力学令：令：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程Date 41振动力学D点和C点的坐标之间的关系：写成
