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1、3 原函数与不定积分1CH1_在单连通区域内，由于在闭曲线上线积分为零和线积分与路径无关是等价的，因此我们有定理一如果函数在单连通区域内解析，则积分与在内的的路径无关，仅与的起点和终点有关。由定理一，如果函数在单连通区域内解析， 是内的任何一条以为起点，为终点的有向曲线，则我们可以记：2CH1_关于这个函数我们有：定理二如果我们让在固定，在变动，如此可得到一个定义在上的单值函数：设函数在单连通区域内解析，则由定义的函数仍为解析函数，其中为内任意的一定点。且3CH1_证 设为区域任意一点， 由于函数在 处连续，总存在正数使当时，现在内作圆周取使得由由于积分与路径无关，为先从出发 个积分的路径到沿
2、直线到点沿第二再我们上式的第一个积分的路径所以对于任意给定的正数恒有4CH1_由于因此根据有因此因此即5CH1_定义如果函数在区域内的导数为即则称为在区域上的一个原函数。定理二表明：是函数的一个原函数。容易证明：的任意两个原函数相差一个常数。因此，我们定义：设为的一个原函数，即的全体原函数表示式（其中为任意常数）为的不定积分，称记作6CH1_利用任意两个原函数之间相差一个常数的性质，可以推出类似定积分的牛顿莱布尼茨公式的复函数积分的计算公式。 定理三 如果函数在单连通区域内解析，为的一个原函数，其中为内的两点。有了原函数、不定积分和积分计算公式后，复函数 的积分可以像实函数的积分类似去计算。则7CH1_例1计算积分1）2）解1）2）8CH1_解法一根据解析函数的充要条件知，此积分的被积函数是解析的，因此是与路径无关的。 选取积分路径从到从到原式例2计算积分其中 为曲线从原点到点一段。9CH1_解法二 令代入被积函数得被积函数是因此原式10CH1_
