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1、第四章 随机信号通过线性系统*13.1 线性系统基本理论主要内容主要内容3.2 随机信号通过连续时间系统3.3 随机序列通过离散时间系统2系统可分为：（1）线性系统：线性放大器、线性滤波器（2）非线性系统：限幅器、平方律检波器 对于线性系统： 已知系统特性和输入信号的统计特性， 可以求出输出信号的统计特性3.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论所研究的系统： 单输入单输出（响应） 连续或离散 线性时不变 物理可实现（因果性） 稳定性3w连续时间系统：输入和输出都是连续时间信号； w离散时间系统：输入和输出都是离散时间信号。连续与离散系统：（1）线性性： （2）时不变： 线性时不变系
2、统： 称作算子4w什么是线性系统？时不变线性系统连续时不变线性系统离散时不变线性系统3.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论5时不变线性系统若任意常数a, b, 输入信号 x1(t), x2(t), 有 Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)若输入信号x(t)时移C, 输出y(t)也只引时移C，即 y(t-C) = Lx(t-C)L.x(t)y(t) = Lx(t)3.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论 什么是线性系统？6连续时不变线性系统h(t)x(t)y(t) = x(t)*h(t)3.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论
3、 什么是线性系统？73.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论3.1.2 连续时不变线性系统的分析方法83.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论3.1.3 离散时不变线性系统的分析方法93.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论3.1.4 卷积积分回顾1.卷积积分计算103.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论2.冲激函数性质113.2 随机信号通过连续时间系统12w3.2.1 时域分析法 w1、输出信号的均值 w2、输出信号的自相关函数 w3、输入信号与输出信号之间的互相关函数3.2 随机信号通过连续时间系统13：1、输出信号的均值3.2.1 时域
4、分析法2、输出信号的自相关函数输入信号的自相关函数RX输出信号的自相关函数RY，即： 14输入x(t)与输出y(t)的互相关函数RXY输出y(t)的自相关函数 RY2、输出信号的自相关函数3.2.1 时域分析法t时刻的X t+时刻的Y 以Y为计时起点， 则- 时刻的Xt时刻的Y t+时刻的X 以Y为计时起点， 则+ 时刻的X 153、输入X与输出Y之间的互相关函数RXY3.2.1 时域分析法t时刻的X t+时刻的Y 若以X为计时起点， 则+ 时刻的Yt时刻的Y t+时刻的X 若以X为计时起点，则 - 时刻的Y 16小 结输出均值输入输出互相关函数输出自相关函数平稳随机信号17解：18(1) 输
5、出信号均值19(2) 输出自相关函数20(3) 输出平均功率(4) 输入输出互相关函数21当输入信号带宽远大于系统带宽时，输入信号白噪声。22前提: 系统处于稳定状态时，t=0系统输出响应也已处于稳态 3.2 随机信号通过连续时间系统23w3.2.2 频域分析法3.2 随机信号通过连续时间系统 1、输出信号的均值 2、输出信号的功率谱密度 3、输入信号与输出信号的互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换的关系 241、输出信号的均值对于平稳随机信号x(t) ：w3.2.2 频域分析法3.2 随机信号通过连续时间系统252、输出的功率谱密度SYw3.2.2 频域分析法3.2 随机信号通过连续时间系统3、
6、输入与输出的互谱密度SXY/ SYX x为起点262728w3.3.1 时域分析法 w 1、输出序列的均值 w 2、输入序列与输出序列的互相关函数 w 3、输出序列的自相关函数3.3 随机序列通过离散时间系统平稳随机序列类似于平稳随机信号。29w3.3.1 时域分析法1、输出序列的均值3.3 随机信号通过离散时间系统的分析2、输入与输出的互相关函数RXY/RYX30w3.3.1 时域分析法 3、输出序列的自相关函数31w3.3.2 频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 1、输出序列的功率谱密度 2、输出序列的自相关函数 3、输出序列的平均功率32w3.3.2 频域分析法 3.3
7、随机信号通过离散时间系统的分析1、输出序列的功率谱密度3334w3.3.2 频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析2、输出序列的自相关函数35w3.3.2 频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析3、输出序列的平均功率R(0)式中 l 代表 z 平面上的单位圆 3637解:由题知例 设计一稳定线性系统,使其在具有单位谱的白噪声 激励下输出谱为: 38 3.3.3 色噪声和白化滤波器 问题：如何设计一个线性系统，使输入为白噪声时，输出 信号具有所希望的功率谱密度？问题：如何设计一个线性系统，将色噪声转化为白噪声( 即白化滤波器)391. 色噪声的产生设输入信号为具有单位功率
8、谱密度的白噪声，则系统输出信号 的功率谱密度为402. 白化滤波器41例 求功率谱密度为 的白化滤波器. 解:42例3.9 求功率谱密度为 的白化滤波器. 解:43白噪声通过线性系统分析设连续线设连续线 性系统统的传递传递 函数为为 ，或其输输入白噪声功率谱谱密度为为 ，系统输统输 出的功率谱谱密度为为 或物理谱密度为注意：该式表明，若输入信号是具有均匀谱的白噪声， 则输出信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性决定。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统 只允许与其频率特性一致的频率分量通过。44白噪声通过线性系统，可得所需的随机信号。 该随机信号特性完全由系统特性决定， 所以，随机信号可用
9、系统的传递函数/系统函数表征 （即随机信号的参数模型）输输出自相关函数为为输输出平均功率为为453.4 平稳随机序列的参数模型 平稳随机序列的特征描述： 时域特征参数：均值、均方值（平均功率）、方差、 自相关、自协方差 频域特征参数：功率谱密度 平稳随机序列的参数模型：从实验角度，描述平稳随机序列。同样的白噪声信号w(n)输入不同的线性系统h(n) ，就 可得不同的平稳随机序列x(n)。可见，平稳随机序列x(n)的特征由线性系统决定。即线性系统的系统函数H(Z)可用来描述平稳随机序 列。故H(Z)就是平稳随机序列的参数模型。463.4 平稳随机序列的参数模型473.4.1 滑动平均模型 -Mo
10、ving Average 简称MA模型483.4.1 滑动平均模型 -Moving Average 简称MA模型493.4.2 自回归模型(常用) -Autoregressive 简称AR模型50AR模型的参数估计可以归结为求解一组线性方程组，计算简单。 因此，AR模型的应用最广。5152如AR参数模型533.4.3 自回归滑动平均模型 Autoregressive Moving Average 简称ARMA模型54553.5平稳随机序列参数模型的适应性 3.5.1 有限阶的MA信号模型56任一MA序列都可以用无限阶的AR信号模型表示， 或者可以用足够大阶数的AR信号模型近似表示。3.5.2
11、无限阶的AR信号模型3.5平稳随机序列参数模型的适应性57任一ARMA序列都可以用无限阶的AR信号模型表示3.5.2 无限阶的AR信号模型3.5平稳随机序列参数模型的适应性583.5.3 无限阶的MA信号模型任一ARMA序列都可以用无限阶的MA信号模型表示3.5平稳随机序列参数模型的适应性593.5.4 总结三种信号模型可互相转换，具有普遍适应性。 同一序列可用不同信号模型表示，但效率有差别。 模型系数越少，效率越高。 AR模型适合：功率谱仅有尖峰的信号 MA模型适合：功率谱仅有深谷的信号 ARMA模型适合：功率谱有尖峰有深谷的信号所谓适合，即该方法的模型系数少，效率高。 值得注意的是，AR模
12、型计算简单，为工程上常用， 工程师宁愿阶数高，系数多，以求更近似表达。3.5平稳随机序列参数模型的适应性603.6 随机序列参数模型与功率谱、自相关函数平稳随机序列以三种不同的方式描述， 从不同角度说明其统计特性。自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换。3.6.1 如果已知系统函数H(Z)和白噪声信号w(n),则可以 求得实平稳随机序列的功率谱密度PXX。613.6.2 如果已知实平稳随机序列的功率谱密度PXX，求 线性系统的系统函数H(Z)有理谱信号：白噪声通过线性稳定系统后所产生的随机信号623.6.2 如果已知实平稳随机序列的功率谱密度PXX，求 线性系统的系统函数H(Z)谱分解定理：633.6.2 如果已知实平稳随机序列的功率谱密度PXX，求 线性系统的系统函数H(Z)由谱分解定理可得以下推论： 1）在谱分解定理的约束条件下，由信号X(n)的功率谱密度PXX 只能分解出唯一的零极点在单位圆内的稳定系统H(Z)2）所分解出的系统H(Z)一定是最小相位系统（所有零点都在 单位圆内），即系统具有可逆性。3）已知随机信号的功率谱PXX，可按照谱分解定理，求得 该随机序列的参数模型H(Z)4)已知随机序列参数模型H(Z)，求该随机信号的的功率谱PXX， 这种计算则更容易些。646566方法2：谱分解6768谱分解的步骤69
