离散系统与Z变换

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1、1.线性离散系统的基本概念2.离散时间函数的数学表达式及采样定理3.Z变换4.线性常系数差分方程5.脉冲传递函数6.采样控制系统的时域和频域分析二、线性离散系统n模拟信号（即连续信号）：时间上连续，幅值上也 连续的信号。 n离散的模拟信号：时间上离散，幅值上连续的信号。 n数字信号：时间上离散，幅值上也是离散的信号； 或者说，时间上离散，幅值是用一组数码表示的信号 。1. 线性离散系统的基本概念 1.1 信号1.2 采样与量化 n采样：将模拟信号按一定时间采样成离散的模拟信 号。 n量化：采用一组数码来逼近离散模拟信号的幅值， 将其转化成数字信号。 A / D 变换器通用或专用 计算机采样 保

2、持器D/ A 变换器模拟低通 滤波器模拟信号数字信号模拟信号连续时间信号连续时间信号数字信号模拟信号采样保持信号量化电平1.3 自动控制系统的分类及特点连续控制系统离散控制系统按包含的信 号形式分类 n 连续控制系统系统中均为模拟信号n 离散控制系统系统中既含有连续信号又含有离散模拟信号的 混合系统。采样控制系统是由连续的控制对象、离 散的控制器、采样器和保持器等几个环节所组成。n 在连续系统中的一处或几处设置采 样开关，对被控对象进行断续控制；n 通常采样周期远小于被控对象的时 间常数；n 采样开关合上的时间远小于断开的 时间；n 采样周期通常是相同的。1.4 采样系统的特点2. 离散时间函

3、数的数学表达式及采样定理2.1 离散时间函数的数学表达式2.2 采样函数的频谱分析2.3 采样定理2.4 信号的复现开关打开时，没有输出；开关闭合时有输出，值等于采样时刻的模拟量 2.1 离散时间函数的数学表达式n 采样过程的特点n 采样函数采样函数 为：= ， 的数学表达式 2.2 采样函数的频谱分析把周期信号展成复数形式的傅里叶级数，然后对它的频率和振幅进行分析，这就是频谱分析。 n 频谱分析所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周 期延拓，重复周期为ws(采样频率)。如果信号最高频谱超过ws/2，那么在理想采样频谱 中，各次调制频谱就会互相交叠，出现频谱的“混淆” 现象，当出现频谱混淆

4、后，一般就不可能无失真地滤 出基带频谱，用基带滤波恢复出来的信号就要失真。2.3 采样定理采样定理要解决的问题是：采样周期选多大，才 能将采样信号较少失真地恢复为原来的连续信号。 n香农（Shannon）采样定理为了使信号得到很好的复 现，采样频率应大于等于原 始信号最大频率的二倍，即2.4 信号的复现n 信号复现定义把采样信号恢复为原来连续信号的过程通常称为 信号的复现。 n 信号复现方法加入理想滤波器 （理论上） 加入保持器（实际上） 理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有(1)理想滤波器采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：也就恢复了模拟信号：y(t)=xa(t)G(jw) g(t

5、)G(jw)T xa(t) y(t)=xa(t)0 wS/2 零阶保持器的传递函数为：(2)零阶保持器零阶保持器的幅频与相频特性3. Z变换3.1 Z变换的定义3.2 Z变换的方法3.3 Z变换的性质3.4 Z反变换对其进行拉氏变换：3.1 Z变换的定义常见信号的z变换序列 z变换 ROCn 级数求和法n 部分分式法3.2 Z变换的方法求1*(t)的Z变换 。n 级数求和法求 的F(z)。求解 的Z变换 。n 部分分式法首先把 分解为部分分式之和，然后再对每一部分分式求Z变换。 n 线性性质3.3 Z变换的性质n 时移特性n 超前定理n 复位移定理n 初值定理如果Z时F(z)的极限存在，则函数

6、的初值为 n 终值定理n 卷积和定理若 则 式中n 幂级数展开法n 部分分式法n 反演积分法（留数法）3.4 Z反变换n 幂级数展开法用长除法把 按降幂展成幂级数，然后求得 ，即将 展成 对应原函数为 n部分分式法n 反演积分法（留数法）在反演积分法中，离散序列 等于 各个极点上 留数之和，即式中表示 的第个极点。 单极点的情况 重极点的情况 若 有n阶重极点 ，则4. 线性常系数差分方程4.1 差分方程的定义4.2 差分方程的解法对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样 时刻的输出值 xc(k) 不仅与这一时刻的输入值 xr(k) 有关，而且与过去时刻的输入值xr(k-1)， xr(k-2)

7、有关，还与过去的输出值xc(k-1)， xc(k-2)有关。可以把这种关系描述如下：xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+=b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+ 当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。4.1 差分方程的定义4.2 差分方程的解法已知采样系统的差分方程是n 迭代法初始条件： 解：令k=1 ， 有 令k=2，有 同理，求出 差分方程z-1的代数方程, 再由逆z变换求得时域解。n Z变换法求解初始条件：xc(0)=0, xc(1)=1 解：由超前定 理，令 于是 代入原式得 整理后得 5. 脉冲传递函数5.1 脉冲传递函数的定义5.2 脉冲传递函

8、数的推导5.3 开环系统脉冲传递函数5.4 闭环系统脉冲传递函数5.1 脉冲传递函数的定义在线性离散系统中，当初始值为零时，系统离散输出信号的Z变换与离散输入信号的Z变换之比。n由单位脉冲响应推出n由拉氏变换求出n由差分方程求出5.2 脉冲传递函数的推导(1) 单位脉冲响应g(t)：输入信号为单位脉冲信号 (t)。g(t)是连续传递函数G(s)的拉氏反变换。(2) 当输入信号为延时的单位脉冲信号(t-nT)时， 其输出信号为延时的单位脉冲响应g(t-nT)。(3) 若输入信号为脉冲序列时，根据线性系统的叠加原理其输出信号为一系列脉冲响应之和。n由单位脉冲响应推出求脉冲传递函数的一般步骤：(1)

9、 由G(s)求g(t); g(t)=L-1G(s)(2)注意：G(z)表示脉冲传递函数，G(s)表示连续传递函 数。并不是简单地将s换成z得到的。例：求图示系统的脉冲传递函数r(t)r*(t) T 1/sc(t)例：求图示系统的脉冲传递函数（T=0.5)r(t )r*(t)T 1/(2s+1)c(t)n 串联各环节之间有采样器的情况5.3 开环系统脉冲传递函数n串联各环节之间无采样器的情况解：对于图1，它的脉冲传递函数为求上述两种连接形式的脉冲传递函数。T=0.5对于图2，脉冲传递函数为结论：中间具有采样器的环节，总的脉冲传函等于各脉冲环节传函之积，而串联环节中间没有采 样器时，其总的传函等于

10、各环节相乘积后再取Z变换。在分析离散系统脉冲传递函数时，应注意在闭环 的各个通道以及环节之间是否有采样开关，因为有 、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的 。5.4 闭环系统脉冲传递函数n 具有负反馈的线性离散系统 n 具有数字校正装置的闭环离散系统 n 具有有扰动信号输入的闭环离散系统 6. 采样控制系统的时域分析 6.1 用Z变换法求系统的单位阶跃响应6.2 采样系统的稳定性分析6.3 采样控制系统的稳态误差6.4 采样控制系统的根轨迹已知系统如图所示，求系统的单位阶跃响应。6.1 用Z变换法求系统的单位阶跃响应解：在上例中加入保持器后再求输出量。解：结论：由此结果看出，由于增加了保

11、持器，使得系统 输出量的超调量增加了。线性连续系统稳定充要条件：闭环传递函数所有 极点均位于s平面的左半部分；线性离散系统稳定充要条件：闭环脉冲传递函数 所有极点均位于z平面的单位圆内。6.2 采样系统的稳定性分析n Z平面上系统稳定的条件 在s平面内 在z平面内 0,右半平面内 z 1,单位圆外 =0, 虚轴 z =1,单位圆周 0, 左半平面 z 1,单位圆内 s平面与z平面的映射关系： 如果复变量s1在s平面左半平面内移动，即 0, 则对 应z 1,其运动轨迹对应于z平面上单位圆内部，幅角 随频率而变。 j0j/Tj/2T-j/2T -j/Ts平面z平面ReIm10-1 =-/T =/T

12、 =010/s(s+1)C(s)R(s)+-E(s)E*(s)T=1解：由开环系统的连续传递函数：得开环系统的脉冲传递函数：由闭环离散系统的特征方程，求离散系统的闭环特 征方程根：闭环特征方程根：z1=-0.076，z2=-4.876，位于单位圆外。故系统不稳定。6.3 采样控制系统的稳态误差n 单位阶跃输入时采样系统的稳态误差 位置稳态误差系数 0型系统： I型系统： II型系统： n 单位斜坡输入时系统的稳态误差 速度稳态误差系数 0型系统： I型系统： II型系统： n 抛物线函数输入时系统的稳态误差 加速度稳态误差系数0型系统： I型系统： II型系统： 总 结1. 离散时间系统与连续时间系统在数学分析工具 、稳定性、动态特性、静态特性、校正与综合等方 面都具有一定的联系和区别，许多结论都具有相类 同的形式，在学习时要注意对照和比较，特别要注 意它们不同的地方。2. 处理离散系统的基本数学工具是Z变换。3. 离散系统的脉冲传递函数与连续系统中的传递函数一样重要。它是研究离散系统最有力的手段之一 ，要能熟练地求出典型离散系统的闭环脉冲传递函 数。对一些常见的离散系统框图应能推导出输出Z变换的表达式。 4. 要掌握 S平面与Z平面的对应关系，掌握离散系统的稳定判据及采样周期等参数对稳定性的影响。 能对离散系统的动态特性作一般分析，能够根据系 统结构特点分析其静态误差特性。