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1、一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程 第十二章 一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 解方程 解: 先解即积分得即用常数变易法求特解. 令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求方程的通
2、解 .解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得故方程可变形为所求通解为 这是以为因变量, y为 自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0例3. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电解: 列方程 .已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为因此有即初始条件: 由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 解方程:由初始条件: 得利用一阶线性方程解的公式可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、
3、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求方程的通解.解: 令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2. 伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利 方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题1. 求一连续可
4、导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解: 1) 先解定解问题利用通解公式, 得利用得故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3) 原问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
