《连续时间傅里叶变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《连续时间傅里叶变换（86页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、信号的频域分析连续非周期信号的频域分析连续非周期信号的频域分析常见连续时间信号的傅立叶变换对常见连续时间信号的傅立叶变换对 连续时间连续时间FourierFourier变换的性质变换的性质 离散非周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析常见离散时间信号的傅立叶变换对常见离散时间信号的傅立叶变换对离散离散时间时间FourierFourier变换的性质变换的性质连续时间傅里叶变换从傅立叶级级数到傅立叶变换变换 频谱频谱 函数与频谱频谱 密度函数的区别别 傅里叶反变换变换 非周期矩形脉冲信号的频谱频谱 分析我们回忆一下：注 ：注： 为傅里叶级数的系数（频谱系数）当T0趋于无穷时，周期信号则变 成了
2、非周期信号1从傅立叶级数到傅立叶变换讨论周期T增加对离散谱的影响： 周期为T宽度为的周期矩形脉冲的Fourier系数为T趋于无穷大时， 傅里叶系数趋于无穷小，为了描述 非周期信号的频谱特性引入了频谱密度的概念，也就是 傅里叶变换。 物理意义: F(j)是单单位频频率所具有的信号频谱，称之 为非周期信号的频谱频谱 密度函数，为了和傅立叶级数统一， 也简称频谱频谱 函数。 单位频率因为：称为：傅里叶变换2. 频谱函数与频谱密度函数的区别(1) 周期信号的频谱为频谱为 离散频谱频谱 ， 非周期信号的频谱为连续频谱频谱为连续频谱 。(2) 周期信号的频谱为频谱为 Cn的分布，表示每个 谐波分量的复振幅
3、非周期信号的频谱为T Cn的分布，表示 每单位带宽内所有谐谐波分量合成的复振幅， 即频谱频谱 密度函数。两者关系：物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为F()/2d 的复指数信号ej t的线性组合。T , 记n0=, 0=2/T=d, 3. 傅里叶反变换傅立叶正变换 ：傅立叶反变换：符号表示：狄里赫莱条件注意：对于傅立叶变换，狄里赫莱条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（充分非必要 条件）（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。例题 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数 解
4、 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为由傅立叶正变换定义式，可得分析：2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱 等间隔取样求得3. 信号在时时域有限，则在频频域将无限延续。4. 信号的频谱分量主要集中在零频频到第一个过过零 点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽带宽 。5. 脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多 。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。 1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱 ，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。常见连续时间信号的频谱常见非周期信号的频谱 (频谱 密度) 单边指数信号 双边指数信号e-|t| 单位冲激
5、信号(t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t) 常见周期信号的频谱 密度 虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列1. 常见非周期信号的频谱(1) 单边指数信号幅度频谱为相位频谱为单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱(2) 双边指数信号e-|t| 幅度频谱 为相位频谱为(3) 单位冲激信号(t) 单位冲激信号及其频谱(4) 直流信号 直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限的 方法求出其傅里叶变换。对照冲激、直流时频曲线可看出: 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。 直流信号及其频谱（5） 符号函数信号符号函数定义为符号函数的幅度频谱和相位频谱(6) 单
6、位阶跃信号u(t) 单位阶跃信号及其频谱2 常见周期信号的频谱 (1) 虚指数信号同理:（ 2 ） 正弦型信号余弦信号及其频谱函数正弦信号及其频谱函数00-)( )(0)(F（3）一般周期信号 两边同取傅立叶变换 （4）单位冲激序列 因为T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅立叶级数：单位冲激序列及其频谱函数1. 线性特性2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性5. 时移特性 6. 频移特性7. 时域卷积特性8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性11. 频域微分特性 12. 能量定理傅里叶变换的基本性质1. 线性特性其中a和b均为常数。2.共轭对称特性当f(
7、t)为是实函数时，有|F(j )| = |F(-j )| ， f() = -f(-) F(j)为复数，可以表示为3 时移特性 式中t0为任意实数证明：令x= t-t0，则dx=dt，代入上式可得信号在时时域中的时时移，对应频谱对应频谱 函数在频频域 中产产生的附加相移，而幅度频谱频谱 保持不变变。 例1试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j) 。 解 无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t) 如右图，因 为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为4. 展缩特性 证明:令x=at，则dx=adt ，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩 。0A2)2(2F-0A)(F22-
8、)2( tftA44-)(21tft-0)(tft22 -0A21) 21( 21F44-5.互易对称特性 6. 频移特性（调制定理） 若f(t) F(j) 式中0为任意实 数 证证明 ：由傅立叶变换定义有则信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将原来 信号频谱向左右搬移0，幅度减半。同理例2 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t 相乘后信号的频谱函数。应用频移特性可得解 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为时间域相乘频率域卷积思考：我们如何恢复原始信号f(t)?即 解调！幅度调制：在时间域，一个信号和 另一个信号相乘，相应的，在频率 域，把信号的频谱从低频搬移到高
9、频。幅度解调：在频率域，把信号的频 谱从高频搬移到低频。时间域相乘频率域卷积时间域相乘频率域卷积7.时域微分特性则若f(t) F(j) 例3试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。解 由时域微分特性 因此有8.积分特性 若信号不存在直流分量，即F(0)=0则若f(t) F(j) 则9.频域微分特性则若f(t) F(j) 将上式两边同乘以j得证证明：例4 试求单位斜坡信号tu(t)的傅立叶变换。解 已知单位阶跃信号傅立叶变换为 :利用频域微分特性可得:10.时域卷积特性 证证明：例5：求三角脉冲的频谱三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积卷乘FTFT11.频域卷积特性(调制特性)证明：例6：求单个
10、余弦脉冲的频谱乘 FTFT卷12.非周期信号的能量谱密度 由于信号f(t)为实数，故F(-j)=F*(j)，因此上式为信号的能量可以由|F(j)|2在整个频率范围的积分 乘以1/2 来计算。物理意义义：非周期能量信号的归一化能量 在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。能量频谱频谱 密度函数(能量频)：单位角频率的信号能量帕什瓦尔能量守恒定理1.线性特性2.对称互易特性 3.展缩特性4.时移特性5. 频移特性 傅立叶变换性质一览表6. 时域卷积特性7. 频域卷积特性 8. 时域微分特性 9. 积分特性10. 频域微分特性 非周期信号频域分析小结 p重要概念:非周期信号的频谱频谱 1)非周期信号的
11、频谱 与周期信号的频谱 的区别 2)非周期信号频谱 的物理意义3)非周期信号频谱 的分析方法:应用常用 基本信号的傅里叶变换与傅里叶变换 的性质 p分析问题 使用的数学工具:傅里叶变换 p工程应用:调调制、解调调，频频分复用离散时间Fourier变换（DTFT）DTFTDTFT的定的定义义义义 DTFTDTFT的性质的性质 内插和抽取信号的内插和抽取信号的频谱频谱频谱频谱常常见见见见DTFTDTFT变换对变换对变换对变换对一、DTFT的定义所以，我们定义连续函数在 的抽样值等于DFS系数Fm回忆：离散周期信号系数DFS一、DTFT的定义DTFTDTFT1 1) ) F(e jW )是连续的 I
12、DTFTIDTFT2 2) ) F(e jW )是周期为2的周期函数F F(e(e j jWW ) )特点：特点：解：解：例例2 2解：解：例例3 3利用泊松求和公式可得：解：解：二、DTFT性质1 1. . 线性特性线性特性二、DTFT性质2 2. . 对称特性对称特性当 f k是实序列实序列时:F(e jW )可表示为若 f k实偶对称，则F(e jW )实偶对称。 若 f k实奇对称，则F(e jW )虚奇对称。二、DTFT性质3 3. . 时移时移4 4. . 频移频移5 5. . 时域卷积时域卷积二、DTFT性质6 6. . 频域卷积频域卷积7 7. . 频域微分频域微分8 8. . 能量定理能量定理解：解：利用频域微分特性利用频域微分特性例例5 5三、抽取信号的频谱 三、抽取信号的频谱 四、内插信号的频谱 四、内插信号的频谱 为了去掉mirror四、内插信号的频谱 四、常见见DTFT变换对变换对几种信号频谱的比较（规律总结）u 连续时间信号的频谱是非周期的u 离散时间信号的频谱是周期的u 周期信号具有离散频谱u 非周期信号具有连续频谱频谱频谱傅立叶变换（傅立叶级数的系数）傅立叶变换（傅立叶级数的系数）
