矩形菱形和正方形

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1、典型例题例、如图，已知平行四边形ABCD:ABCDEFM NO（1）请找出一对全等三角形，并加以证明；（2）在（1）中的全等三角形中的一个可以由另一个由怎样 的变换得到？ （3）求证：OMOE=ONOF（4）若直线EF绕点O旋转，则EF将平行四边形分成的两个图形 的面积相等吗？请说明理由。一、知识概要 性质质判定边边 两组对边组对边 分别别平行 两组对边组对边 分别别相等有一个角是直角的平行四 边边形是矩形角矩形的四个角都是直 角有三个角是直角的四边边形 是矩形 对对角 线线矩形的两条对对角线线相 等对对角线线相等的平行四边边 形是矩形(矩形)一、知识概要性质质判定边边菱形的四条边边都相等.一

2、组邻边组邻边 相等的平 行四边边形是菱形. 四条边边都相等的四 边边形是菱形.角对对角相等. 邻邻角互补补.对对角线线菱形的两条对对角线线互 相垂直； 并且每条对对角线线平分 一组对组对 角.对对角线线互相垂直的平 行四边边形是菱形.(菱形)二、知识概要性质质判定边边正方形的四条边边都 相等.有一组邻边组邻边 相等的 矩形是正方形.角正方形的四个角都是 直角.有一个角是直角的菱 形是正方形.对对角 线线正方形的两条对对角 线线相等.并且互相 垂直平分.每条对对 角线线平分一组对组对 角.对对角线线相等的菱 形是正方形. 对对角线线互相垂直 的矩形是正方形.(正方形)平 行 四 边 形四 边 形

3、矩形菱形正 方 形有一个内角是直角对角线相等有一组邻边相等对角线互相垂直四条边都相等有三个角是直角有一组邻边相等对角线互相垂直有一个内角是直角对角线相等特殊的平行四 边形的关系图平行四边形矩形菱形 正方形四边形特殊的平行四边形的关系图例1 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图，使AB=CD，EF=GH.（2）摆成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是 ，理由是： 。（3）将直角尺靠紧窗框的一个角，调整窗框的边框，当直角尺的 两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是 。平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形矩有一

4、个角是直角的平行四边形是矩形还有什么方法可以说明这个铝合金窗框是 合格的?想一想:ABCDABCDAC=BD例2 将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你会发现这是一个什么四边形？你能解 释其中的道理吗？若展开后的菱形纸片ABCD中，两条对角线AC= ,BD= 4 。 （1）求菱形ABCD的面积；（3） 求ADC的度数。 （2）求菱形ABCD的周长；在矩形ABCD中,有一个菱形BFDE(点E,F分别在线段 AB,CD上)，记它们的面积分别为 则下列命 题中真命题有： .若 ,则 若 则 如果想得到一个正方形，该怎么剪？ 并解释你这样做的道理。想一想：ABCDo60例3,铝合金

5、窗框ABCD两条对角线的夹角AOB=60 AOB的周长为3 m。求：（1）窗框对角线AC长；（2）求窗框ABCD的面积。例4 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由。FE例5：已知四边形ABCD是正方形。ABCD(1)若一条对角线BD长为2cm,求这个正方形的周长、面积 。EMN(2)若E为对角线上一点,作EMBC于M,ENDC于N,连接EA、MN。求证：EAMN(3)若ABBE，求AED的大小。如图,边长为6的大正方形中 有两个小正方形，若两个小 正方形的面积分别为S1，S2, 则S1+S2的值为 .例6,如图1:正方形ABCD的对角线AC、

6、BD相交于点O，E 是AC上的一点，连接EB，过点A作AMBE，垂足M，AM 交BD于点F（1）求证OE=OF（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AMEB的延 长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变， 则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明； 如果不成立，请说明理由ABCDOFE MABCDFEMO例7:如图,四边形ABCD中,AB=AD,BAD=C=90,AEBC于E,且四边形ABCD的面积是16,求AE的长.已知：如图，在四边形ABCD中，ABC90， CDAD，AD2CD22AB2 （1）求证：ABBC （2）当BEAD于E时，试证明：BEAECD8.已知，正

7、方形ABCD中，MAN=45, MAN绕点A顺时 针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于 点M、N，AHMN于点H（1）如图，当MAN绕点A旋 转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ； （2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1 ）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请 写出理由如果成立请证明；（3）如图，已知 MAN=45，AHMN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长 （可利用（2）得到的结论） 例9.如图,在ABC中,ACB=90,BC的中垂线DE 交BC于点D,交AB于点E，F在DE的延长线上，并且 AF=CE.(1)证明：四边形ACE

8、F是平行四边形.(2)当B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是 菱形？请回答并证明你的结论.(3)四边ACEF有可能是正方形吗？请证明你的结论 。10.探究下列问题： （1）如图，在ABC中，CPAB于点P.求证:AC2-BC2=AP2-BP2； （2）如图,在四边形ABCD中,ACBD,垂足为P,猜 一猜AB,BC,CD,DA之间有何数量关系，用式子表 示出来（不必说明理由）； （3）如图,在矩形ABCD中,P为内部任意一点，请 猜想出AP,BP,CP,DP之间的数量关系,并证明。例11.已知正方形ABCD,MEBD，MFAC,垂足分别 为E、F(1)M是AD的中点,若对角线AC=12cm

9、，求ME+MF的长 。ABCDOMF E(2)若M是AD上的一个动点, ME+MF的长度是否会改变？(3)当M点运动到AD延长线 上时,是否存在类似(2)中 不变的值？求出其值.(4)当M点运动到何处时， 四边形MFOE的面积最大？12.如图,ABCD、CEFG是正方形,E在CD上,直线BE 、DG交于H,且HEHB4-22，BD、AF交于M， 当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列 四个结论:BEGD;AF、GD所夹的锐角为 45;GD=2AM；若BE平分DBC，则正方 形ABCD的面积为4。其中正确的结论是_例13.如图，在四边形ABCD中,E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD

10、、DA的中点，请添加 一个条件，使四边形EFGH为 菱形 ，并 说明理由。 解：添加的条件_ ACBD我想到： 三角形中位线定理如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分 别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一 个条件，使四边形EFGH为 矩形 ，并说 明理由。 解：添加的条件_ ACBD我想到： 三角形中位线定理如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分 别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一 个条件，使四边形EFGH为 正方形 ，并说 明理由。 解：添加的条件_ ACBD我想到： 三角形中位线定理且ACBD(1)顺次连接任意四边形各边中点得(2)顺次连接对角线相等的四边形各边中

11、点得(3)顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得(4)顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点得我发现： 平行四边形；菱形； 矩形；正方形.新四边形的周长、面积与原四边形有何联系？1.矩形的“中点四边形”是 形；2.菱形的“中点四边形”是 形；3.正方形的“中点四边形”是 形。矩菱正方那么，特殊平行四边形的“中点四 边形”会是怎样的图形呢？如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点 O，过点D作DPOC，且 DP=OC，连结CP， 试判断四边形CODP的形状. ABDCOP解:四边形CODP是菱形 DPOC, DP=OC 四边形CODP是平行四边形四边形ABCD是矩形 CO=DO四边形C

12、ODP是菱形 如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又 应变为什么？如果题目中的矩形变为菱形(图一)， 结论应变为什么？图一A AO OD D P PB BC CP PC CD DO OB BA A图二如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于 点O，过点D作DPOC，且 DP=OC， 连结CP，试判断四边形CODP的形状.ABDCOP如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中 AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少 满足 条件时，四边形EFGH是菱形 ABCDEFGH例9.在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O,过点O 作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E

13、 、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE. （1）如图，试判断四边形EGFH的形状，并说 明理由；HGFEODCBA图HGFEODCBA图ABCDOEFGH图ABCDOEFGH图（第23题图）（2）如图，当EFGH时，四边形EGFH的形状是 ； （3）如图，在（2）的条件下，若AC=BD，四边 形EGFH的形状是 ； （4）如图，在（3）的条件下，ACBD，试判断 四边形EGFH的形状，并说明理由.HGFEODCBA图HGFEODCBA图ABCDOEFGH图ABCDOEFGH图（第23题图）例.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形片， O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA

14、=10，OC=6 (1)如图,在OA上选取一点G,将COG沿CG翻折,使点 O落在BC边上，设为E，求折痕CG所在直线的解析式。(2)如图,在OC上任取一点D,将AOD沿AD翻折， 使点O落在BC边上，记为E。 求折痕AD所在直线的解析式； 再作EF/AB，交AD于点F，若抛物线: 过点F，求此抛物线的解析式,并判断它与直线AD的交 点的个数。(3)如图,在OC,OA上选取适当的点D，G，使纸 片沿DG翻折后,点O落在BC边上,记为E。 请你猜想：折痕DG所在直线与中的抛物线会用什 么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。三、基本练习 (填空题) 1.如图，根据四边形的不稳定性制作边长为16cm的 可活动的菱形衣架，若墙上钉子间的距离 AB=BC=16 cm，则1=_度。2. 已知，矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图 放置在直线AP上，然后不滑动转动，当它转动 一周时（AA），顶点A所经过的路线长等于 _。1206 三、基本练习 (填空题)3.如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD ，BC的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落 在MN上的P点处，BQ为折痕，则 PBQ=_度。304.如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段 BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D处 ，那么tanBAD等于（ ） (A) 1 (B) (C)