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1、第六章 曲线与曲面1）点在空间作连续变换方向的 运动轨迹曲线的形成一般有下列三种方式：2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线6.1 曲线概述6.1.1 曲线的形成3）平面与曲面或两曲面相交的交线必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。 如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看 成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交 线。6.1.2 曲线的分类1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线（ 如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。2、按曲线上点的分布可分为两类： 1）平面曲线 曲线上所有点都在同一平面上 ，如二次曲线、渐伸线等； 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同 一平面上，如
2、螺旋线等。1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射 线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投影 为直线 2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的从属关系 为曲线投影的不变性 3）代数曲线的投影，其次数不变。如二次曲线的投影仍为二次曲线 4）曲线切线（割线）的投影仍为其投影的切线（割线） 6.2.1 曲线的投影 特性6.2 曲线的投影 特性及其画法6.2.2 曲线的投影画法一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确 定出它在空间的形状和位置。按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一 系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺 次光滑连接即得该曲线的投影
3、。为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上 特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最 好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来 、D、G均为特殊点 B和F为对H面重影点 E为一般点 6.3 圆的投影 圆是最简单的平面曲线 根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其 正投影有如下三种情况（这里仅讨论其和两面 投影）： 2.1 圆所在平面为投影面平行面 2.2 圆所在平面为投影面垂直面 2.3 圆所在平面为一般位置平面 当圆所在平面为投 影面平行面时，圆在所 平行的投影面上的投影 反映该圆的实形。在另 一投影面上的投影为直 线，线段的长度等于圆 的直径6.3.1 圆所在平面为投影面平行面6.3.2 圆
4、所在平面为投影面垂直面当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂 直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直 径。在另一投影面上的投影则为椭圆。 6.3.3 圆所在平面为一般位置平面 当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投 影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必 须分别求解。椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影 短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影 圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法-最大斜度线法当圆处于一般位置时，则在各投影面上的投影均为椭圆。当圆处于一般位置时，则在各投影面上的投影均为椭圆。 可以采用最大斜度线法或变换投影面法来作图。可以采用最大斜度线法或变换投
5、影面法来作图。最大斜度线法最大斜度线法圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法-变换投影面法变换投影面法变换投影面法特别注意：特别注意：水平投影的水平投影的 短轴短轴g gh和正投影的短轴和正投影的短轴g g h 并不一一对应。并不一一对应。方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴 6.4 螺旋线6.4.1 圆柱螺旋线 一点沿圆柱面直母线 作等速直线运动，同时该 母线又绕圆柱面轴线作等 速回转运动，则该点在空 间的运动轨迹即为圆柱螺 旋线 圆柱螺旋线的三要素 1：圆柱的直径 2：导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点 沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程 旋向：分为右旋、左旋两种 右螺旋线的动点
6、运动 遵循右手定则，图上（a) 可见部分右边高；左螺旋线的动点运动 遵循左手定则，图上(b) 可见部分左边高 作图步骤 6.1.2 圆锥螺旋线一点沿圆锥面 直母线作等速直线 运动，同时该母线 又绕圆锥面轴线作 等速回转运动，则 该点在空间的运动 轨迹即为圆锥螺旋 线 曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合 如图所示曲面， 是 由AA沿着曲线 ABC运动且在运动 中始终平行于直线 MN所形成的 AA称为母线母线形状可以是不变的 ，也可以是不断变化的 母线在曲面上的任一位 置称为素线，无限接近 的相邻两素线称为连续 两素
7、线 控制母线运动的点、线 和面称为定点、导线和 导面它们统称为导元素 母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面 母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面 同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成 6.5 曲面的投影 只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。 曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知 曲面的投射柱面与曲面的切线 当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合 时，这些母线称为界限素线曲面的轮廓线对不 同投影面各不相同。如图所示，投射柱 面与曲面的切线T称为 曲面对H面的轮
8、廓线， 为曲面轮廓线的H 投影。 6.5.1 曲面的分类 根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分 类方法。如：按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面 ；按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回 转面；按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母 线面和变母线面；按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则 曲面和不规则曲面；按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类 ，则可分为可展曲面和不可展曲面。 一、直线面1 可展直线面 1） 柱面 一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。 作图时，一般应画出导线
9、和曲面的轮廓线，必 要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线 直圆柱面 aaa几种柱面 直圆柱面 斜圆柱面 直椭圆柱面 斜椭圆柱面 4.1.2 锥面 一直母线沿曲导线 运动且始终通过一定点（ 锥顶）而形成的曲面称为 锥面。锥面的相邻两素线为 过锥顶的相交直线，位于 同一平面内，所以是可展 曲面。作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓 线，必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线 正圆锥面 sskskk过锥顶作一 条素线。正圆锥面 斜圆锥面 正椭圆锥面 斜椭圆锥面 4.1.3 切线面 一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线相 切而形成的曲面称为切线曲面 切线曲面是可展直线面 渐开线螺旋面 在作投影
10、图时，首 先应画出其导线圆 柱螺旋线的投影（画法 详见），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线 ，即可求出H投影面迹线 ，在V面投影上应保留轮 廓线的投影。 2） 不可展直线面 柱状面 一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平 面平行，即形成了柱状面 柱状面是不可展曲面 锥状面 一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运 动，并始终与一导平面平行，即形成了锥状面 锥状面是不可展曲面 双曲抛物 一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终 与一导平面平行，即形成了双曲抛物面 双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有 两个导平面。这两个导平面的交线（OZ轴）即为该 曲面的轴线。若两个导平
11、面相互垂直，则称为正双 曲抛物面，否则称为斜双曲抛物面。 双曲抛物面的相邻两素线为相错直线，所以是 不可展曲面 正双曲抛物面斜双曲抛物面6.6 回转曲面 母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称 为回转曲面 固定轴称为回转轴在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆 ，这些圆称为纬线圆。其圆心在回转轴上，且该 圆与回转轴垂直在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的 纬线圆称为喉圆，比相邻两侧都大的纬线圆称为 赤道圆。 画回转曲面的投影 图时，通常使其轴线垂 直于某一投影面，以便 简化作图 由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转 曲面可以分为：直线回转面曲线回转面组合回转面 6.6.1 直线回转面 圆
12、柱面 中介绍的直圆柱面可以认为是一直母 线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的，它 是一般柱面的特殊形式。若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成 圆柱体。 圆柱面上求点 aaa圆锥面 中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线 围绕与之相交的轴线作回转运动形成的，它是一 般锥面的特殊形式。若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。 圆锥面上求点有两种方法：素线法（介绍）纬线圆法 纬线圆法ss(n)sn(n)单叶双曲回转面一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面 单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面 6.6.2曲线回转面 曲线回转面属于曲线面，所有的曲线面 均为不可展曲面 球面 一圆母线绕其一条直径作回转运动，即形成球面 球面的三个投影都是圆，但三个圆却分别 是三个不同界线素线的投影。球面各界线素线上 的点，应在该界线素线对应的各投影上，已知点 的一个投影，可直接求得另外两个投影。 圆环面一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回 转运动，即形成圆环面 椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面
