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1、1第第1010章章 回溯法回溯法2回溯法回溯法 有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么 解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯 法。法。 回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条 的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适 用于解一些组合数相当大的问题。用于解一些组合数相当大的问题。 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根 结点出发搜
2、索解空间树。算法搜索至解空间树的任意结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意 一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定 不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向 其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优 先策略搜索。先策略搜索。3问题的解空间问题的解空间 问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n n 元式元式(x1,x2,(x1,x2,xn),xn)的形式。的形式。 显约束
3、：对分量显约束：对分量xixi的取值限定。的取值限定。 隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的 所有多元组，构成了该实例的一个解空间。所有多元组，构成了该实例的一个解空间。注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单， 所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。4问题的解空间问题的解空间n=3时的0-1背包问题用完 全二叉树表示的解空间子集树旅行商问题：某售货员 要到若干城市推销商品， 已知各个城市之间的路程 （或
4、旅费）。他要选定一 条从驻地出发，经过每个 城市一遍，最后回到驻地 的路线，使总的路线（或 旅费）最小。排列树123430610205生成问题状态的基本方法生成问题状态的基本方法 扩展结点扩展结点: :一个正在产生儿子的结点称为扩展结点一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点活结点: :一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点 称做活结点称做活结点 死结点死结点: :一个所有儿子已经产生的结点称做死结点一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R R，一，一 旦产生
5、了它的一个儿子旦产生了它的一个儿子C C，就把，就把C C当做新的扩展结点。在当做新的扩展结点。在 完成对子树完成对子树C C（以（以C C为根的子树）的穷尽搜索之后，将为根的子树）的穷尽搜索之后，将R R 重新变成扩展结点，继续生成重新变成扩展结点，继续生成R R的下一个儿子（如果存在的下一个儿子（如果存在 ） 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点 之前，它一直是扩展结点之前，它一直是扩展结点 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态 ，要不断地利用限界函数，要不断地利
6、用限界函数(bounding function)(bounding function)来处死来处死 那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计 算量。算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法6回溯法的基本思想回溯法的基本思想(1)(1)针对所给问题，定义问题的解空间；针对所给问题，定义问题的解空间； (2)(2)确定易于搜索的解空间结构；确定易于搜索的解空间结构； (3)(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中 用剪枝函数避免无效搜索。用剪枝函数避免
7、无效搜索。常用剪枝函数： 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； 用限界函数剪去得不到最优解的子树。用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的 解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的 路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为 h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n)。而显式地存储 整个解空间则需要O(2h(n)或O(h(n)!)内存空间。7递归回溯递归回溯回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下 用递归方法实现回溯法。用递归方法实现回溯法。 void void backtrack
8、backtrack (int t)(int t) if if (tn) (tn) outputoutput(x);(x);elseelsefor for (int i= (int i=f f(n,t);i0) (t0) if if ( (f f(n,t)n) output(x);elsefor (int i=0;in) output(x);elsefor (int i=t;i 0)while(k 0) xk+=1; /xk+=1; /转到下一行转到下一行 while (xk=n xk+=1; if(xk=n)if(xk=n) /第第k k个皇后仍被放置在格子内个皇后仍被放置在格子内 ，有解，有
9、解 if(k=n)if(k=n) num+;num+; cout num “:t“;cout num “:t“; for( int i=1; i=n; i+)for( int i=1; i=n; i+) cout xi “t“;cout xi “t“; cout endl;cout endl; elseelse k+;k+; xk=0; /xk=0; /转到下一行转到下一行 elseelse /第第k k个皇后已经被放置到格个皇后已经被放置到格 子外了，没解，回溯子外了，没解，回溯 k-; /k-; /回溯回溯 int _tmain(int argc, int _tmain(int argc,
10、 _TCHAR* argv)_TCHAR* argv) nQueens(n);nQueens(n); getchar();getchar(); return 0;return 0; 130-10-1背包问题背包问题 解空间：子集树 可行性约束函数： 上界函数： private static double bound(int i)/ 计算上界double cleft = c - cw; / 剩余容量double bound = cp;/ 以物品单位重量价值递减序装入物品while (i = n bound += pi;i+;/ 装满背包if (i = n) bound += pi / wi *
11、cleft;return bound;14进一步改进算法的建议进一步改进算法的建议选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的 发挥作用。例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大 排序。这在某种意义上相当于给回溯法加入了启发性 。 定义Si=vi,vi+1,.,vn，依次求出Sn,Sn-1,.,S1的解。 从而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si=max则 剪枝。同时注意到：从Si+1到Si，如果找到一个更大 的团，那么vi必然属于找到的团，此时有Si=Si+1+1， 否则Si=Si+1。因此只要max的值被更新过，就可以确 定已经找到最大值，不必再往下搜索了。15回溯法效率分析回溯法效率分析通
12、过前面具体实例的讨论容易看出，回溯算法的通过前面具体实例的讨论容易看出，回溯算法的 效率在很大程度上依赖于以下因素：效率在很大程度上依赖于以下因素： (1)(1)产生产生xkxk的时间；的时间； (2)(2)满足显约束的满足显约束的xkxk值的个数；值的个数； (3)(3)计算约束函数计算约束函数constraintconstraint的时间；的时间； (4)(4)计算上界函数计算上界函数boundbound的时间；的时间； (5)(5)满足约束函数和上界函数约束的所有满足约束函数和上界函数约束的所有xkxk的个的个 数。数。 好的约束函数能显著地减少所生成的结点数。但好的约束函数能显著地减少
13、所生成的结点数。但 这样的约束函数往往计算量较大。因此，这样的约束函数往往计算量较大。因此，在选在选 择约束函数时通常存在生成结点数与约束函数择约束函数时通常存在生成结点数与约束函数 计算量之间的折衷。计算量之间的折衷。16重排原理重排原理 对于许多问题而言，在搜索试探时选取xi的值顺序是任意的。 在其他条件相当的前提下，让可取值最少的xi优先。从图中关 于同一问题的2棵不同解空间树，可以体会到这种策略的潜力 。图(a)中，从第1层剪去1棵子树，则从所有应当考虑的3元组中 一次消去12个3元组。对于图(b)，虽然同样从第1层剪去1棵子 树，却只从应当考虑的3元组中消去8个3元组。前者的效果明
14、显比后者好。(a)(b)分支限界法分支限界法 类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树T T 上搜索问题解的算法。但在一般情况下，分支限上搜索问题解的算法。但在一般情况下，分支限 界法与回溯法的求解目标不同。界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目回溯法的求解目 标是找出标是找出T T中满足约束条件的所有解，而分支限界中满足约束条件的所有解，而分支限界 法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解， 或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数 值达到极大或极小的解，即在某种意义
15、下的最优值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优 解。解。 所谓所谓“ “分支分支” ”就是就是采用广度优先采用广度优先的策略，依次搜的策略，依次搜 索索E-E-结点的所有分支，也就是所有相邻结点，抛结点的所有分支，也就是所有相邻结点，抛 弃不满足约束条件的结点，其余结点加入活结点弃不满足约束条件的结点，其余结点加入活结点 表。然后从表中选择一个结点作为下一个表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-E-结点结点 ，继续搜索。，继续搜索。选择下一个选择下一个E-E-结点的方式不同，则会有几种不结点的方式不同，则会有几种不 同的分支搜索方式。同的分支搜索方式。1 1）FIFOFIFO搜索搜索2 2）LIFOLIFO搜索搜索3 3）优先队列式搜索）优先队列式搜索 由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法 在解空间树在解空间树T T上的搜索方式也不相同。回溯法以深上的搜索方式也不相同。回溯法以深 度优先的方式搜索解空间树度优先的方式搜索解空间树T T，而分支限界法则以，而分支限界法则以 广度优先或以最小耗费优先的方式
