自动控制原理第四章

《自动控制原理第四章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理第四章（125页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第章 根轨迹分析 教学重点l了解根轨迹的基本特性和相关概念；l了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹 的分类原则； l掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应 用到根轨迹的绘制过程中；l学会应用主导极点、偶极子等概念近似分 析系统的性能。教学难点根轨迹的绘制，用根轨迹法分析系统的性能 。闭环系统的稳定性，完全由它的闭环极点 （即系统特征方程的特征根）在S平面上 的分布情况决定，系统的动态性能也与闭 环极点在平面上的位置密切相关。因此， 在分析控制系统的性能时，确定闭环极点 在平面上的位置非常重要。 l1948年，伊文思（W.R.Evans）根据反馈 控制系统开环传递函数与其闭环特征方程 之间的联系，

2、提出一种简便的求解系统特 征方程的特征根的图解法根轨迹法。 l根据已知开环系统零、极点，当一个或某 些系统参数变化时，确定闭环系统极点在 平面上随参数变化运动的轨迹。 4.1 根轨迹的基本概念根轨迹：当系统的某个参数（如开环增益） 由零连续变化到无穷大时，闭环特征方程的 特征根在平面上形成的若干条曲线。 4.1.1 闭环零极点与开环零极点之间的关系图4-1 控制系统框图l系统的开环传递函数用如下两种形式表示：l系统的闭环传递函数为或根轨迹：系统某个参数变化时（由 ） ，闭环特征根在平面上运动的轨迹。 图4-2 二阶系统方框图系统的闭环传递函数为 l系统的特征方程为 l求解该方程可得闭环系统的特

3、征根为表4-1 开环增益K取不同值时对应的特征根 、00.51230-0.29-1-2-1.71-1图4-3 二阶系统的根轨迹 图中箭头方向表示当开环增益K从0 时系统特征根移动的方向。 从图4-3中可以看出开环增益K的变化对闭 环特征根分布的影响：（1）当 时，特征根 、 与开环极点 、 重合，这就是根轨迹的起始点。（2）当 时，两个闭环特征根重合，即为重根。（3）当 继续增大，两个闭环特征根为一 对共轭复数，其实部相同（-1），虚部沿与 虚轴平行的直线分别移动，直到趋于无穷大 。4.1.2 根轨迹与系统性能1、稳定性 无论开环增益 取何值，系统的根轨迹曲 线和相应的系统的极点均分布在 的左

4、半 平面内，故该闭环系统总是稳定的。2、动态性能当 时，闭环特征根为-2,0）区间内 的负实根，系统阶跃响应曲线相当于过阻 尼； 当 时，闭环特征根重合，其阶跃响 应曲线相当于临界阻尼状态； 当 时，闭环特征根为共轭复数，其 阶跃响应曲线相当于欠阻尼状态，即衰减 振荡。 、稳态特性因为开环传递函数有一个位于原点的极点 ，所以该系统为I型系统，阶跃函数作用下 的系统稳态误差为零。4.1.3 根轨迹方程对于如图4-1所示的控制系统的一般结构，其闭环传递 函数为 可得系统的特征方程（根轨迹方程）为或表示成图4-1控制系统方框图由于 是一复变量，可表示为模和幅角的形 式，向量“ ”可表示为或特征方程式

5、可以等价地写成 或利用复变量相等的条件，可得下列关系式： 模值方程为相角方程为 负反馈系统： 正反馈系统：绘制根轨迹只要根据相角方程就足够了， 相角方程是确定闭环根轨迹的充分必要条件。 例4-1 试分析图4-3中根轨迹的相角条件，并 求根轨迹上点 和点 所对应 的开环根轨迹增益值。 解图4-4系统根轨迹如图4-4所示，实轴上极点 和 之间是根 轨迹。该两个极点之间的任意一点，如点 ，其相角为 ，满足根轨迹的 相角条件。S平面上的直线 也是根轨迹，因为该 直线上的任意一点，如点 ，其相角为同样满足根轨迹的相角条件。对于点 ，根轨迹增益为对于点 ，根轨迹增益为4.2 根轨迹的绘制规则4.2.1 1

6、80根轨迹绘制的基本规则根轨迹的方向、起点和终点根轨迹起始于 ，终止于 ，由模值 条件式得当 时， 为系统的开环极点 。 当 时， 为系统的开环零点 。规则1：根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点。如果开环零点数目 小于开环极点数目 ，则有 条根轨迹终止于无穷远处。.根轨迹的分支数根轨迹分支数与闭环特征方程的根的数目 相同，系统的特征方程为 特征根的数目等于 和 中的较大者。 规则2：根轨迹的分支数等于特征方程的 阶次，即开环零点数和开环极点数中的较 大者。.根轨迹的连续性和对称性规则3：根轨迹是连续的，且以 平面的实 轴为对称的曲线。.实轴上根轨迹的分布 根轨迹在实轴上总是分布在两个相邻的

7、开 环实零、极点之间，且该线段右边开环实 零、极点的数目之和为奇数。 图4-5 实轴上根轨迹的分布设系统开环零、极点分布如图4-5所示，在 实轴上任取一点 ，连接所有的开环零、极 点。 实轴上根轨迹的确定完全取决于点 右边实 轴上开环零、极点数目之和。由相角条件得规则4：实轴上属于根轨迹的部分，其右边 开环零、极点的数目之和为奇数。例4-2 设单位负反馈控制系统的开环传递函 数如下试绘制该系统的根轨迹。 解 由规则1可知，系统的根轨迹在 时 ，分别从三个开环极点（ ， ， ）出发，当 时根轨迹的两条分支趋 向于开环零点 和 ，另一条趋向 无穷远处。由规则4可知，在实轴上的0至-1线段和-2 至

8、-3线段上，以及从-4至 的线段上存在根 轨迹。系统的根轨迹如图4-6所示。图4-6 例4-2系统根轨迹5.根轨迹的渐近线渐近线： 条根轨迹趋于无穷远处的方向。 两部分：渐近线与实轴的夹角和交点。时的渐近线方程得 渐近线与实轴的交点渐近线的夹角 规则5：如果系统的有限开环零点数 少于 其开环极点数 ，则当根轨迹增益 时，有 条根轨迹渐近线趋于无穷远处 。这些渐近线在实轴上共交于一点，其坐 标为，与实轴正向的夹角为 。例4-3 控制系统开环传递函数为试确定系统根轨迹在实轴上的分布及渐近线 。 解 由传递函数可知，该系统无开环零点， 有三个开环极点，分别为-p1=0,-p2=-1和 p3=-2。根

9、据上述规则可知，系统根轨迹有三 条分支，当 时分别从开环极点- 、 - 和 - 出发，K时趋向无穷远处，其 渐近线的相角为渐近线与实轴的交点为在S平面实轴上0至1和2至 线段上 存在根轨迹，系统根轨迹如图4-7所示。图4-7 例4-3系统根轨迹6.根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切 线方向与正实轴间的夹角，用 表示； 入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切 线方向与正实轴间的夹角，用 表示。 计算根轨迹的出射角与入射角可由根轨迹 的相角条件来确定。 规则6：开环复数极点、零点的出射角和入 射角可根据下面公式计算：7.根轨迹的分离点和会合点如果根轨迹分支在某点相交后向复平面

10、运 动，则该交点称为根轨迹的分离点；若根 轨迹分支从复平面运动到某点处相交，则 该交点称为会合点。 规则7：根轨迹分离点或会合点的坐标可通 过求解 得到。 8.根轨迹与虚轴的交点求取根轨迹与虚轴交点可利用下面两种方法 。 令特征方程中 ，可得联立求解上式方程，即可求出 值以及对 应的临界稳定开环增益值 。即应用劳斯判据法。根据特征方程的系数和 系统临界稳定的条件，来求取根轨迹与虚 轴的交点。具体步骤为：列出劳斯表，令 其第一列中包含 的元素为零，确定根轨 迹与虚轴交点处 的值。再由上一行系数 构成的辅助方程求解纯虚根值，即交点处 的 值。 规则8：根轨迹与虚轴的交点坐标及临界根 轨迹增益，可以

11、通过用 代入系统闭 环特征方程求取，也可以应用劳斯判据法 确定。例4-4 设系统的特征方程为求系统根轨迹与虚轴的交点。 解 令 代入特征方程，得对上式虚部和实部分别求解，可得由此可得 即根轨迹与虚轴的交点为j2，系统的临界开环增 益为20。例4-5 设系统的特征方程为试求系统根轨迹与虚轴的交点。 解 应用劳斯判据法。根据系统特征方程可列写系 统的劳斯表1 36 K8 80 026 K由此可知，当 时，表中 行的所有元素均 为零。按照s2行的元素列写辅助方程由于 ，因而该方程的根为 ，即根 轨迹与虚轴交点 ，对应系统开环增益为260。9. 特征方程的根之和与根之积开环传递函数展开为多项式形式式中

12、，- 为开环极点；- 为 开环零点； 为根轨迹增益。规则9：若系统满足 ，系统闭环极点 之和等于开环极点之和；若同时满足 ，则闭环极点之积等于开环极点之积。4.2.2 零度根轨迹绘制的基本规则零度根轨迹：系统特征方程形式为零度根轨迹的模值方程与180根轨迹的模值方 程一致，仅相角方程不同。零度根轨迹绘制规则 : （1）实轴上的根轨迹应改为实轴上的某一区域，若 其右方开环实数零、极点的个数之和为偶数，则该 区域必是根轨迹。 （2）根轨迹的渐近线与实轴的交角应改为（3）根轨迹的出射角和入射角应改为（4）根轨迹与虚轴的交点零度根轨迹的产生有两种情况：一是控制系统中包含正反馈回路；二是非最小相位系统。

13、例4-6 设正反馈系统的开环传递函数为试绘制闭环系统的根轨迹。 解 （1）确定开环零极点，绘制零极点分布 图。由传递函数可知，系统开环极点分别 为 0， ， ，无开环零点。（2）根据规则1，根轨迹均趋于无穷远处。 （3）根据规则2，根轨迹共有三条。 （4）根据规则3，根轨迹为连续曲线，且对 称于实轴。 （5）根据零度根轨迹绘制规则，整个实轴 的正半轴均为根轨迹部分。 （6）根轨迹的渐近线。渐近线与实轴的交点坐标为渐近线与实轴的交角为（7）根轨迹的出射角为（8）由根之和规则可知，根轨迹与虚轴无 交点。因此，可绘制系统根轨迹如图4-8 所示。图4-8 例4-6系统的根轨迹例4-7 设已知控制系统的

14、开环传递函数为试绘制闭环系统的根轨迹。 解 根据根轨迹绘制规则，具体步骤为： （1） ，即开环极点分别为- ，- ， - ，- ； ，即无开环零点。 根轨迹具有4条分支，均趋于无穷远处。（2）实轴上的根轨迹位于4 0之间。 （3）求分离点。分离点方程为解得 ， ， 。 （4）求渐近线。 渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的夹角为（5）求与虚轴的交点。 令 代入特征方程中，得令上式两边实部和虚部分别相等，则有联立求解，得（6）求出射角。 复极点- 的出射角为 ；相应地，复极点- 的出射角为 90。 由此可绘制系统根轨迹如图4-9所示。 图4-9 例4-7系统根轨迹4.2.3 参数根轨迹参数根轨迹：选择除开环增益以外的系统 其他参量作为可变参量绘制的根轨迹，又 称为广义根轨迹。 绘制参数根轨迹的规则与常规根轨迹完全 相同。只是在绘制参数根轨迹之前，需将 控制系统的特征方程进行等效变换，求出 等效开环传递函