重积分变量代换习题课

《重积分变量代换习题课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重积分变量代换习题课（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、高等数学习题课重积分的计算及相关问题高等数学 基本内容重积分三重积分二重积分应 用几何：面积、体积、曲面面积物理：质量、重心、引力性质计算直角坐标法 极坐标法 代换法 性质计算直角坐标法球面坐标法柱面坐标法高等数学重积分计算的关键:1. 选择坐标系2. 确定积分次序和积分限高等数学基本内容：一、积分坐标系的选择及积分顺序的确定二、积分定义及性质的应用三、换元法的使用四、对称性的利用高等数学 一、积分坐标系的选择及积分顺序例1(1)分析: 由积分限先定出积分区域D，然后再交换积分顺序.解高等数学解1例1(2)被积函数:直角坐标+换序解2yOxy=x1高等数学例1(3)证被积函数: 直角坐标+换序

2、高等数学例2(1)解 (积分区域: 直角坐标)分析: 先去掉绝对值符号高等数学例2(2)解1 (被积函数:直角坐标+截面 )高等数学解2 (积分区域:球面坐标+换序)注记:本题两种不同坐标系解法的难度有一定的 差别, 请注意和收集同类型题目.高等数学 例3证1 分析：从改变积分次序入手被积函数: 直角坐标+换序t=v(x,x)vtOxt=u(v,v)utOv高等数学证2 (截面法)u=vu=tvuOx(x,x)高等数学例4分析: 体积可用定积分、二重积分和三重积分 计算，选择时要根据区域而定. 解 (积分区域:球面坐标+换序)高等数学 例5解被积函数: 柱面坐标高等数学 例6分析: 要证明的等

3、式的左端是重积分，右端是定积分，观察 两端积分被积函数的特点，可以发现需将 x2+y2 看成一整体. 高等数学证明: (被积函数: 极坐标+换序)将式中r的换成x,即得证.由对称性知交换积分次序高等数学解例7 高等数学高等数学高等数学二、积分定义及性质的应用例8证同理高等数学注: 本题采用的方法具有代表性, 希望同学 们能灵活应用.高等数学证例9高等数学 例10证高等数学 例 11注: 三重积分也有类似利用中值定理求极 限的题目, 希望同学们掌握.高等数学使用换元法需注意的两个方面:方法:三、代换法的使用高等数学广义极坐标:广义球面坐标:高等数学 例 12分析: 区域的边界较复杂, 考虑换元.

4、 解高等数学例 13解1换元+对称高等数学例 13解2高等数学例 14解1高等数学解2利用定积分的换元例 14高等数学四、对称性的利用(一)、二重积分的对称性使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标轴的对称性；、被积函数在积分区域上的关于二个积分 变量的奇偶性.高等数学使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴(三个变量)的奇偶性.(二)、三重积分的对称性高等数学A例 15(1)高等数学A例 15(2)解 I10; I2=I3=0; I40.D1D2D4 D3D高等数学例 16解1高等数学解2高等数学解1 (被积函数: 截面法)例 17高等数学解2 (积分区域: 换元法+对称)例 17高等数学练习高等数学9.高等数学作 业P272: 3, 7, 8, 11-15, 16(1).高等数学 参考答案:(简解在后)高等数学高等数学9.简证高等数学则本题得证.