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1、一.几何概型 Geometric Probability u 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等 可能性，就得到几何概型。n事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 u 几何度量-指长度、面积或体积 u 特点 n 有一个可度量的几何图形Sn试验E看成在S中随机地投掷一点第4节 概率的公理化定义= 2 , 3 = 5 - 0 = 5 = 3 - 2 = 1一个简单的例题 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时， 圆周与桌面接触处的刻度位于区间 2 , 3 上的 概率。解例1.10. (会面问题 )甲乙二人相约定6：00-6：30在预
2、定 地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。 求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内的任 意时刻到达预定地点的机会是等可能的。解 设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为 x 及 y（分钟）, 则 二人会面30301010yx思考练习1.在区间 上随机取2个数,求此两个数和小于 的概率.2. 在时间段 内两个信号等可能的进入显示器, 若两信号进入时间间隔 , 则会产生干扰.求产生 干扰的概率. 布丰的投针试验公元1777年的一天，法国科学家D布丰（Dbuffon1707 1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看 一次奇特试验的。试验开始，但见年已古稀的布丰
3、先生兴致 勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行 线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长 度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位 把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下 的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先 生要干什么，只好客随主便，一个个加入了试验的行列。一 把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地 在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后 ，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的 投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总 数2212与相交数704的比值为3.142
4、。”说到这里，布丰先生 故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调 说：“先生们，这就是圆周率的近似值！” 众宾哗然，一 时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率？这可是与圆 半点也不沾边的呀！”几何概型的计算：布丰投针问题 设平面上画着一些有相等距离2a（a0）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为2L（La）的针，求 针与直线相交的概率。d2al解 设针的中点离较近直线的距离 为d，针与较近直线的交角为。 则d与的可取值为 所求概率为 针与直线相交 0dLsin da计算机模拟求数的近似值:蒙特卡洛方法另一计算近似圆周率的方法 蒙特卡洛方法可用于近似计算圆周率：让计算机每次随机生
5、 成两个0到1之间的数，看以这两个实数为横纵坐标的点是否 在单位圆内。生成一系列随机点，统计单位圆内的点数与总 点数，（圆面积和正方形面积之比为PI:4，PI为圆周率）， 当随机点取得越多时，其结果越接近于圆周率（然而准确度 仍有争议：即使取10的9次方个随机点时，其结果也仅在前4 位与圆周率吻合）。实际上，计算机产生的随机数只能精确 到某位数，并不能产生任意实数（例如无理数等等）；上述 做法将平面分割成一个个网格，由此计算出来的面积当然与 圆或多或少有差距。取 ,则 ,即 ,进而得到圆周 率的近似值.几何概率性质 :（3） 若 互斥，则 （1） （2） 一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角
6、形的概率是多少？A B COr解 以A为起点，逆时针方向为正，B至A的曲线距离为x，C至A的曲线距离为y，则ABC为锐角三角形 或 一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？ABC为锐角三角形 或 解 所求概率为 直角三角形？钝角三角形？1.定义. 给定一个随机试验，是它的样本空间， 对于任意一个事件，赋予一个实数，如果满足下列三条公理，u 非负性： u 规范性 ：u 可列可加性 ：那么，称 为事件的概率:二.概率的公理化定义两两互不相容时概率是一个函数,定义域是所有的事件,就是基本事件空间 的子集,每一个事件都对应一个实数,当然这个函数满足以 上的三条公理.证明 由公理 3 知
7、所以 2.概率的性质 不可能事件的概率为零但反过来，如果P（A）=0，未必有A=. 例如 ：一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下 来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于 0，但该事件有可能发生。设A1，A2， , An两两互不相容，则证明 在公理3中 , 取i = （i=n+1,n+2, ） .2).有限可加性若 A B，则 P (B A) = P(B) P(A)3).差事件的概率所以对任意两个随机事件、，有 4).挖补原理(或称加法定理)推论(次可加性):BCA三个事件的挖补原理证明 由于与其对立事件互不相容，由性质2有 而 所以 5.逆事
8、件的概率袋中有20个球,其中15个白球,5个黑球,从中任 取3个,求至少取到一个白球的概率设表示至少取到一个白球，i 表示刚好取 到i个白球，i0，1，2，3， 则 方法1（用互不相容事件和的概率等于概率之和）(A)(A123)(1)(2)(3)解方法（利用对立事件的概率关系） 解设表示甲击中目标，表示乙击中目标，表示目标被击中， 则 0.85 0.8 0.68 0.97 甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的 概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 两人都击 中的概率为 0.68 求目标被击中的概率已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种情形 下分别求出P(A-B)与P(B
9、-A) (1) 事件A,B互不相容 (2) 事件A,B有包含关系 解(2) 由已知条件和性质3,推得必定有(1).由于因此投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之和在4和10之间的概率（含4和10）.解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A 总的基本事件数为 所包含的样本点为 所以 考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是0.3, 乙城出现雨天的概率是0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为0.52, 试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率.解 设A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨” 则 所以 把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒可识别),求前三个盒当中有空盒的概率.解 设 表示第 个盒空着 则所求概率为
