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1、1快速多极子方法的并行技术冯仰德 王武 迟学斌 中科院计算机网络信息中心 超级计算中心 2007年2月5日 国家973项目高性能科学计算研究 大规模并行计算研究2纲要 FMM Data Structures Parallelization3纲要 FMM Data Structures Parallelization4FMM in Computational Electromagnetics EFIE MFIE CFIE Green函数5积分方程的离散 RWG矢量基函数 MOM 离散Rao-Wilson-Glisson6Method of Moments Surface is Discretiz
2、ed into Patches (Basis Functions) Basis Functions Interact through the Greens Function Generates a Dense Method of Moments MatrixPulse7线性系统：Mx=s M是NN矩阵，x、s是N矢量 Direct solution (Gauss elimination,LU Decomposition,SVD,) 空间复杂度为O(N2) ，需要O(N3)次 运算； Iterative methods,空间复杂度仍为O(N2)，如果K(k largest N =32,768 F
3、inding:快速矩阵乘向量的算法(NlogN)；并行实施。8Fast Multipole Methods(FMM)Introduced by Rokhlin 需要构建的函数，如Parent(n), ChildrenAll(n), Children(X;n,l), NeighborsAll(n,l), Neighbors(X;n,l)24Grouping每个盒子在l=0,L层的指标n=Number=0,1,2ld-1.由于E2(n,l)和 E3(n,l)是互补的， 因此对任意的n,l25纲要 FMM Data Structures Parallelization26Data Structure
4、 构造树压缩八叉树 建立连接morton键排序27构造树 离散点的空间层次划分 对应的四叉树及其压缩四叉树 28 确定层数L根据读入模型的最大几何尺寸确定计算区域D,根据问题的参数确定最小盒子 尺寸d ,树结构的层数为L=log2(D/d) 第l-1层立方体等分为八个子立方体,形成第l层更小的立方 体,l-1是l层的父层,l层是l-1层的子层. 形成相邻组、次相邻组、远场组 第l层的节点数不超过2dl个构造树八叉树(1)29构造树八叉树（2）procedure Octree_BuildOctree = emptyFor i = 1 to n . 对所有的点做循环 Octree_Insert(i
5、, root) . 将点i插入八叉树相应的位置end For. 八叉树中可能有很多空的叶节点, 但它们的兄弟节点非空 Traverse the tree (via, say, breadth first search) . 宽度周游 Eliminating empty leaves . 去掉空的叶节点 Compress Octree . 压缩八叉树. 如果某中间节点仅包含一个子节点，则被其替换 每个节点用两个键值描述: 包含相同数据的最小单元和最大单元30构造树八叉树（3）包含N个叶节点的压缩八叉树节点总数不超过2N-1 因此可以采用数组而不是链表来存储压缩八叉树 MLFMM基于后序周游的压缩
6、八叉树数据结构 从键值最小的叶节点开始周游 每个节点都存储在其子节点之后，且紧挨其子节点存储 节点排序时，使用的是其所表示的最小单元键值 对于兄弟节点，按键值从小到大排序 各节点所表示的单元指的是它所包含的最小单元 后序周游存储方式是实现与分布无关的自动负载平衡并行MLFMM的 关键 分布无关自适应树(Distribution-Independent Adaptive Tree, DIAT) 构造2d维DIAT的复杂度为O(dnlogn)树节点存储31Morton键为什么不用指针？用指针指向Children的指针可以很方便的建立父子节点之间的关系， 从而构成树结构的拓扑结构。在串行程序，指针可
7、以在全局存储空间 中寻址，效率很高也很准确。但在内存分布式并行环境中，一个计算 节点不能直接访问另一个计算节点上的存储空间，因此用于联系树结 构拓扑结构的指针只能在其所在的计算节点上才有意义，如果要让指 针所指向的树节点能够存储在其他节点上，就必须小心处理指针的变 换关系。以便将指针的指向正确地映射到其他计算节点上的内存空间 。这种转换，使得基于指针的树拓扑方法在分布式并行环境中实现起 来不仅很复杂，而且效率也不高。Morton键技术是实现并行多层快速多极子的关键技术之一！原理：将空间坐标的二进制序列按位交叉，把空间中某一点在x、y、 z方向的坐标/序号映射为一个值，这个值就是morton键值
8、。32Morton次序位于第m层,在该层中编号为n的盒子, 一般采用Morton次序编号为(n, m). 左图为第三层的Morton次序 ， 右图为每一层编号,前三层分别有1, 4, 16个点. 33Morton编码小的灰盒子在第3层,本层编 号为11, 于是其Morton编号为 (11,3); (023)4=(11)10 采用四进制编号为(0,2,3); Morton编号(Num,l)， 在2d叉树中可以得到某盒 子对应的 2d进制编号: (N1, N2,Nl)2d再按照下面的公式计算其Morton编号：算法34空间编码 尺度转换 二进制编码 d维空间编码 二进制交错及其解交错 涉及到的算法
9、：查找Parent、Children、 Neighbor、盒子中心坐标、盒子编码等35尺度转换 2d树结构每个参数都有自己的参数Dj映射原始的盒子的大小 x1,min, x1,max x1,min, x1,max ,xj,max-xj,min=Dj,j=1,d 把原始的盒子映射到单位盒子 上 实际的三维物理空间Dj=D， xmin=(x1,min,，xd,min),称x为真实的坐标， 为该点标准化的坐标 目的：实施二进制编码转换，方便查找！36二进制编码For exampled=1: 用十进制表示为对于 不仅可以表示为 也可以表示为用二进制表示 为：对于 37位交错 在d维单位盒子里, 点坐标
10、其中第k个分量 也可以写成交错二进制(bit interleaving)的形式:38解交错 d维盒子在第l层的Morton键值为 可以解交错(bit deinterleaving)为d个数值代表该盒子的d维坐标Number=7689310=1112=710=1110102=5810=10012=910 (9, 58, 7)Number3=Number2=Number1=39寻找给定点所在的盒子在d维单位盒子里, 点坐标的交错2d进制形式:可以利用2d进制移位取整寻找给定点在第l层所在的盒子:或者写成dl位的平移形式:查找分为5层八叉树结构的点(0.7681, 0.0459,0.3912)在第3
11、层盒子的号(1)二进制转化(0.11000,0.00001,0.01100)2(2）形成单个串0.1001010010000102(3）3*3=9 (Number,3)=1001010012=2973*5=15(Number,5)=1001010010000102=1901040查找盒子中心单位盒子第l层编号为Num的子盒子中心的二进制d维坐标形式: 或者不依赖计数体系,写为: 例如: 八叉树第5层10进制编号为533的盒子，计算过程为: (1)将Morton编号转为2进制: 53310=1, 000, 010, 1012 (2)通过解交错得到该盒子的三维坐标: Num3=10012=910
12、, Num2=0102=210 , Num1=0012=110 (3)计算盒子中心坐标: x3c(533, 5)=2-5(9+0.5)=0.296875; x2c(533, 5)=2-5(2+0.5)=0.078125; x1c(533, 5)=2-5(1+0.5)=0.04875; 因此xc=(0.04875, 0.078125, 0.296875)算法41父盒子编码 计算某盒子的父盒子 父盒子编码与层次无关, 其计算方法: 除法的商取整, 比如11/4=2，于是 例如： 于是#5981的父盒子是#747 除以2d相当于作d次2进制位移就可以了算法42子盒子编码 计算某盒子的子盒子 子盒子是
13、个集合,与所在的层无关:其计算方法为: For example43查找邻居盒子（1） 基于交错二进制的邻居查询算法 Step1.解交错(deinterleaving).十进制(或二进制)编号可转为d维坐标: Step2.每个分坐标的邻居: 于是邻居集为: 其中nk定义为44比如编号为#26的 2维盒子,其邻居 查询过程如下: 2610=(01 10 10)2 解交错形式为 (011,100) 2=(3,4) 10 其相邻盒子为 (2,3),(2,4), (2,5) ; (3,3),(3,5); (4,3),(4,4),(4,5);8个点的二进制: (010,011) 2 , (010,100)
14、 2 , (100,101) 2相邻盒子编号的交错 (interleaving)二进制形式: 001101, 011000, 011001, 001111, 011011, 100101, 110000, 110001 十进制编号为:13,24,25, 15,27, 37,48,49.查找邻居盒子（2）45纲要 FMM Data Structures Parallelization46并行实施技术(parallel implementation) MLFMM具有很好的并行效率 大多数操作都在本地机上进行 例如，Parant to Children,box to its interaction
15、list 八叉树结构是很大的 需要生成和分布式存储 每个处理器只保持本地的基本树 大多数工作只在本地的基本树上进行数据需要同步 父节点需要子节点上的值，但这两个节点在 不同的处理器上荷载平衡问题但是，还存在： 分布式八叉树 负载平衡 相互作用表列 相邻结点的通信 次相邻点的通信需要解决47并行计算步骤 构造压缩八叉树 近场矩阵计算 建立转移节点列表 远场矩阵计算 聚合 转移 发散48树结构的并行划分（1）49二维计算区域对应的分布式四叉树树结构的并行划分（2）50构造分布式压缩八叉树(1) 层数L=log2(D/d), D和d为计算区域划分的最大和最小盒子尺寸 将n个基函数在p个处理机上按次序平均分配，再按照基函数的位置生 成包含这些基函数的叶节点 由于不同基函数可包含于同一叶节点，因此这样的叶节点会同时存 储在不同处理机上 RWG基函数定义在各边上，并包含一对完整的三角形P1P2P3A1A2A3用边的中点代表整个边, 各点都有相应的最底层 非空盒子, 即叶节点.将 叶节点的Morton键值赋
