代数系统 5.1 5.3 (2+2学时)

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1、1离散数学 Discrete Mathematics 主讲讲：陈陈哲云青岛岛理工大学计计算机工程学院2011.092u抽象代数简简介u代数系统统的基本概念(重点)u二元运算的性质质(重点)u代数系统统的同态态与同构（难难点）&代数系统（代数结构）3&抽象代数简介u抽象代数主要研究内容 u群论的出现及创始人 u群论的应用4我们学过很多代数，如集合代数，命题代数等等 ，尽管研究的对象及对象的运算不同，但是它们的性 质完全一样，都有交换律、结合律、分配律、吸收律 、德-摩根律、同一律、零律、互补律等。这些促使 我们将代数的研究引导到更高的层次即抛开具体对 象的代数抽象代数，来研究代数的共性。&引例5

2、抽象代数是数学的一个分支，它用代数的方法从不同的研究对象中概括出一般的数学模型并研究其规 律、性质和结构。代数系统具有运算的集合是抽象代数研究的主要对象。它是在较高的观点上，把一些形式上很不 相同的代数系统，撇开其个性，抽出其共性，用统一 的方法描述、研究和推理，从而得到一些反映事物本 质的结论，再把它们应用到那些系统中去，高度的抽 象产生了广泛的应用。&抽象代数主要研究内容6&抽象代数主要研究内容抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一 具体对象为研究对象，而是以一大类具有某种共同性 质的对象为研究对象，因此其研究成果适用于这一类 对象中的每个对象，从而达到了事半功倍的效果。将介绍最基本最

3、重要的代数系统：群。7&应用u群论在数学的各个分支和物理学、力学、化学、生物 学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。u抽象代数学在计算机科学中的广泛应用：1)半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用；2)群论在计算机安全领域的重要作用；3)有限域的理论是编码理论的数学基础，在通讯中发 挥了重要作用；4)格和布尔代数的理论成为电子计算机硬件设计和通 讯 系统设计中的重要工具。群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的开端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇。这要从代数方程的求解方法谈起。代数方程根式解法的研究有很悠久的历史。大家知道，一个实系数的代数多项式在实数域中只要能分解成一些实系

4、数的一次因式与二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方程:&群论的出现与一次方程的解得到原方程的解。为此，人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式.不过，由于一般三次方程相对于二次方程求根公式要复杂得多，所以古代数学家在这方面的努力都未能获得成功。二次方程的求根公式&群论的出现直至16世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根 公式才被意大利数学家费罗(Ferro)和塔尔塔里亚 (Tartalia) 彼此独立发现。后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔(Cardano) 在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉他，塔 氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。但是卡尔达塔却 背弃诺言， 15

5、45年将塔氏关于三次方程的解法发表在自 己的著作大术(Ars Magna)一书中. 在三次方程求解问题解决后，一般四次方程很快被意大利数学家费拉里 ( Ferrari)所解决，也发表在这部书中。&群论的出现当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被 解决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶 伟大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然 没有一个人能找出五次方程的求根公式. &群论的出现由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解法，于是数学家们开始进行反思。拉格朗日(

6、Lagrange)在1770年猜测: “这样的求根公式不存在。”他预见到一般方程的可解性问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题。12&群论的出现Lagrange的洞察力启发了年轻的阿贝尔(Abel)与伽罗 瓦(Galois)，他们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基础上，各自作出了重要的贡献。Abel （N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代数学 发展的先驱者。1802年8月5日出生于一个牧师家庭，幼 年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学，13岁进入奥斯陆一 所教会学校学习，成绩优异。他16岁自学数学名著，中 学时被誉为“数学迷”。他的数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天赋

7、，不断给予指导与资助。 &群论的创始人1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全是自学，并开始花大量时间考虑数学问题，做研究工作。 1825年大学毕业后，获得奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle)，并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物纯 粹与应用数学杂志，1826年出第一卷刊登了阿贝尔 的7篇文章，其中就有关于一般五次方程不能用根式求解的文章，以后各卷也有他的很多文章。&阿贝尔当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家的惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理：“如 果方程的次数n5，并且系数被看成字母，那么任何 一个由这些系数所组成的根式都不

8、可能是该方程的解 。”原来在三个世纪以来用根式去解这种方程之所以 不能成功，只因为这个问题就没有解。1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名的数学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关于椭圆积分的 论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视，只 好又返回柏林。&阿贝尔克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年5月阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年4月6日患结核病不幸去世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿贝尔已无法前往接受这一职务了。&阿贝尔阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1828 年，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔提供

9、合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上 对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方面 的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类的代数方程 ，后人发现这就是具有交换的伽罗瓦群的方程。后人为 了纪念他，就把交换群称为Abel群.17&阿贝尔&挪威天才数学家阿贝尔在这一时期, 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研 这个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗瓦(Galois). 伽罗瓦1811年10月降生于巴黎近郊。只活了20岁， 而他所留下的著作总共只有60页，但却以自己天才的创 造，犹如划破黑夜长空的一颗彗星Galois的出现，开创了置换群论的研究。 可是这位年轻人获得的非凡成 果, 在他因决

10、斗去世11年后才开始得到数学界的承认。 伽罗瓦幼年受过良好教育，12岁上中学，1827年16岁就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。&伽罗瓦不久，他遇到了数学教师里查德，里查德很快就发现了伽罗瓦的数学才能，在他的指导下，伽罗瓦开 始研究代数方程理论，1828年17岁时高中未毕业便有重大发现，写出了关于循环连分数特别是五次代数解 法的重要论文。1829年18岁的他中学毕业参加声望很高的巴黎高 等工科大学的入学考试时, 伽罗瓦失败了, 不得不进入较普通的师范学校。&伽罗瓦1828年，他把自己所写的论文送交法国科学院审查， 同年6月该科学院曾举行例会，由泊松（S.D.Poisson)和柯西两

11、位著名数学家审查，但由于重视不够，原稿被柯西弄 丢了。1829年他又写了一些关于方程方面的重要论文。同年 7月，他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败。&伽罗瓦怀着沮丧之情, 伽罗瓦于1830年初又向科学院提 交了另一篇论文, 这次是为竞争一项数学大奖. 科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿拿回家去 审读, 不料在写出评审报告前去世了, 此文再也没有找 到。 &伽罗瓦三失手稿, 加之考巴黎高等工科大学两度失败, 伽罗 瓦遂对科学界产生排斥情绪, 变成了学生激进分子, 被学校开除。后来他担任私人辅导教师谋生, 但他的数学研究工作 依然相当活跃。在仔细研究了Lagrange、Gauss、A

12、bel 、Cauchy等人著作的基础上写出了最著名的论文“关于 方程可根式求解的条件”, 并于1831年1月送交科学院. 到 3月, 科学院方面仍杳无音讯, 于是他写信给院长打听他 的文章的下落, 结果又如石沉大海。&伽罗瓦他放弃了一切希望, 参加了国民卫队。在那里和他在数学界一样运气不佳。他刚加入不久，卫队即 遭控告阴谋造反而被解散。在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上, 伽罗 瓦手中举着出鞘的刀提议为国王干杯, 这一手势被同 伙们解释成是要国王的命；第2天他就被捕了。 后 来被判无罪, 并于6月15日获释。&伽罗瓦7月4日, 他终于打听到他给科学院的那篇论文的命 运: 因“无法理解”

13、而遭拒绝。审稿人是著名的数学家泊松(Poisson)，正如当年高斯没能理解年轻的阿贝尔的思想一样，由于伽罗瓦 的理论太深刻以至于超出了他所在的那个时代，从而 他的论文也未被当代大师所领悟，结果泊松的审查意 见竟是“完全不能理解”，但是伽罗瓦的短暂生命使他已经没有时间再解释其深刻思想了。&伽罗瓦7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁, 因为他 在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服. 在获释不久, 他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情。 这导致了他的早亡。这次恋爱事件不知何故引出了一 场决斗。&伽罗瓦1832年5月29日, 决斗的前夜, 伽罗瓦写了封很长的 信给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier)

14、, 先大致描述了他 的数学理论, 从而给数学界留下了唯一一份重要手稿，奠定了近世代数的理论基础，否则将使数学界乃至科学 界蒙受重大损失。他对自己的研究成果不无自信地说“你可以公开地请求雅可比或高斯，请他们不是对这些东 西的正确性，而是对它们的重要性发表意见，我期待着 一定会有人认识到，解开这个迷对他们是有益的”。27&伽罗瓦在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击), 伽罗瓦 的胃部中弹, 24小时后去世. 享年不足21岁.他的信后来发表在1832年9月的“百科评论”上， 但当时并未引起人们的重视。14年后，法国数学家刘维尔从伽罗瓦的弟弟手中搜集到一些尚未公开发表的 手稿，并把它发表在自己创办的

15、数学杂志上，人们才 开始对伽罗瓦的思想有所理解。伽罗瓦留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成 了群论的创始人。 &伽罗瓦29&数学界的顽强斗士伽罗瓦30u抽象代数简简介u代数系统统的基本概念(重点)u二元运算的性质质(重点)u代数系统统的同态态与同构（难难点）&代数系统在本节节中，主要掌握代数系统统和运算的定义义 以及运算的表示方法。31&本节要求定义义1代数系统：集合及集合上的运算称为为代数系统统。注：对对于代数系统统，运算是它的决定性因素，在代数 系统统中二元代数运算用得最多。32&代数系统定义义2二元运算：设设 S 是一个非空集合，称 SS 到 S 的一个函数 f 为为 S 的一个二

16、元代数运算。（函数与封闭闭性）即，对对于 S 中任意两个元素 a, b，通过过 f，唯一确 定 S 中一个元素 c：f()c，常记为记为 a*bc。33如： f :NNN， f()=x+y就是自然数集合上的一个二元运算，即普通的加法运算。考虑，普通的减法是不是自然数集合上的二元运算？&运算思考：请请构造一个集合和它上面的一个二元运算。34【例1】设设 S 是一个非空集合，P(S) 是 S 的幂幂集，则则 集合的交运算 、并运算 是 P(S) 上的二元运算。【例2】逻辑连逻辑连 接词词合取 、析取 、蕴蕴涵 、等 价 都是真值值集合 0,1 上的二元运算。 &运算定义义3n元运算：设设S为为集合，n为为正整数，则则函数 f :SSSS称为为S上的一个n元运算，简简称为为n元运算。35思考：请举请举 一个一元运算与多元运算的例子。&运算几个比较较重要的代数系统统：, “+” 为为普通加法。，“”定义为义为 模n加法，x y = (x+y)modn., “”为对为对 称差运算。另，含有两个运算的