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1、第六节情同手足的亲和数 自守数是甩不掉的尾巴 卡普列加数 平方与立方1.亲和数 定义1 假设有甲、乙两个自 然数，如果甲数除去 自身以外的所有约数 之和等于乙数，而乙 数除去自身以外的所 有约数之和等于甲数 ，那么甲、乙两数就 称为一对亲和数。220=2 2 511284=2 2 71“朋友是你灵魂的倩影， 要象220与284一样亲密 。”望着困惑不解的人们 ，毕达哥拉斯解释道： 神暗示我们，220的全部 真因子1、2、4、5、10 、11、20、22、44、55 、110之和为284；而 284的全部真因子1、2、 4、71、142之和又恰为 220。这就是亲密无间的 亲和数。真正的朋友也
2、象它们那样。 1636年，法国数学家费 马在给梅森的信中给出 第二对亲和数：17296和 18416. 1638年，法国数学家笛 卡尔也写信给梅森，他 得到了一个求亲和数的 新办法，并用此方法得 到了第三对亲和数： 9437056和9363584。 1747年，瑞士数学家欧 拉一举给出30对亲和数 。 三年后，欧拉有将他发 现的亲和数对扩充到60 对。 1866年，年仅16岁的意 大利少年巴格尼尼向公 众宣布：1184和1210是 仅比220和284大一点的 第二对亲和数。在10万以内共有13对亲和数：220,284 1184,1210 2620,29245020,5564 6232,6368
3、 10744,10856 12285,14595 17296,18416 63020,7608466928,66992 67095,71145 69615,87633 79750,88730问题： （1）在已知的亲和数中， 两个数要不然都是奇数 ，要不然都是偶数，那 么有没有一奇一偶的亲 和数呢？人们利用计算 机搜索30亿以下的所有 自然数，没有发现一奇 一偶的亲和数。难道这 是亲和数的本质属性吗 ？谁能证明它？（2）在已知的亲和数中， 人们发现，当亲和数越 来越大时，这对数之比 越来越接近1.人们猜想这 是对的，但还没有人证 明它。把一个数的所有真约数相加，得出一个 结果；再把这个结果的所有
4、真约数相加， 又得出一个结果，如此反复进行，有 时可能回到原数。2.定义2 一个数经过几次求所有 真约数之和后，又回 复到这个数的情况。 如果经过n次，我们 将这n次得到的n个数 称为n阶亲和数。 一阶亲和数就是完全数 。2阶亲和数就是亲和数 。 3阶及以上的亲和数称 为高阶亲和数。例如人们利用计算机找到一个28阶亲和数： 14316 19116 31704 47616 83328 177792 295488 629072 589786 294896 358336 418904 366556 274924 275444 243760 376736 381028 285778 152990 12
5、2410 97946 48976 45946 22976 22744 19916 17716 14316三、自守数 1.定义如果某个数的平方的末尾几位数等于这个 数，那么就称这个数为自守数。02=0 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 显然5和6是一位自守数。 252=625,762=5776 所以25和76是两位自守数。2.特性以自守数的后几位的两个数相乘，乘积的后几位仍是 这个自守数。 例如35865=30275以5为个位数的两个数相乘，乘积的个位数仍是5，当 然6也同样。176576=101376以76为后两位数的两个数相
6、乘，乘积的后两位数仍是 76，当然25也同样。自守数就像一个尾巴，无论有几个这样的数相乘，这 个尾巴总是出现在乘积上，甩也甩不掉。我们利用自守数的性质，再简化一下算法： 5+6=11 25+76=101 625+376=1001 两个n位自守数，它们的和等于10n+1。52=25 252=625 6252=390625 两位自守数25，三位自守数625，四位自守数 0625，五位自守数906253.求法一位自守数5和6两位自守数25和76， 三位自守数625和376，四位自守数0625和9376，五位自守数90625和09376。四、卡普列加数定义：对n位自然数A，将A2切成两半，右边 n位为
7、一个数，左边其余各位为另一个数， 如果这两个数之和恰好等于A，则称A和A2 为一对卡普列加数，其中A为卡普列加底数 ，A2为卡普列加平方数。卡普列加底数为两位数有三个： 452=2025,20+25=45 552=3025,30+25=55 992=9801,98+01=99卡普列加底数为三位数有三个： 2972=88 209 88+209=297 7032=494 209 494+209=703 9992=998 001 998+001=999卡普列加底数为四位数有七个，卡普列加底 数为五位数有七个，比较有意思的是 77772=6048 1729 6048+1729=7777 222222=
8、4938 17284 4938+17284=22222 11111111112=123456790 0987654321 123456790+0987654321=1111111111广义卡普列加数 453=9 11 25 9+11+25=45 27283=203 0173 2352 203+0173+2352=2728 674=20 15 11 21 20+15+11+21=67 4334=35 152 125 121 35+152+125+121=433五、平方与立方1.平方数问题 17世纪法国数学家费马，提出的平方数的问题 （1）1640年12月25日给梅森的信中-任何形如4n+1的质数
9、都可以表 示为两个平方之和。（100年后欧拉给出证明） 5=22+12 13=32+22 17=42+12 29=52+22 （2）任何形如4n+1的质数，把它作为整数边直角三角形的斜边的机会 只有一次。 52=32+42 252=152+202=72+242 1252=752+1002=352+1202=442+1172 这个问题后来证明了。 （3）整数边直角三角形的面积不能是一个平方数。（法国数学家拉格朗 日给出证明）2.平方和问题我们要讲的是能够表示为两个不同自然数的平方和 的自然数家族： 5,10,13,17,20,25,26,29,34,37,40,41,45,50 13=22+32
10、 34=32+52 1334=442 442=212+12=92+192 65=82+12=42+72 85=22+92=62+72 6585=5525=72+742=142+732=222+712 =252+702=412+622=502+5523.立方数之和变平方数自然数的立方和有一个公式 13+23+33+n3=(1+2+3+n)2法国数学家刘维尔在研究这个公式时， 发现发现一个令人惊奇的步骤，按这个步 骤产生的自然数，它们的立方和等于它们 的和的平方。例如6，先求出6的所有因子：1,2,3,6；再 分别求出1,2,3,6的因子个数，得到1,2,2,4 。那么 13+23+23+43=（
11、1+2+2+4）2补充习题作业利用选项关系猜答案 1. 有一个正方形花池，周围用边长25cm的方砖铺了一条宽 1.5米的小路，共用1776块。花池的面积是多少平方米？ ( )A. 111 B. 289 C. 400 D. 10404 2. 某商品定价为进价的1.5倍，售价为定价的8折，每件商 品获利24元，该商品定价为？( )A. 180B. 160 C. 144 D. 120 3. 某省有线网络收入为45.38亿元，该省有线电视用户数 为1885.88万户，该省有线电视用户平均每月的有线网络 费用约为多少元？( )A. 20 B. 36 C. 180 D. 240找准行程过程，快速列方程，解
12、 决行程问题4. 甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7：00出发，匀速步行前往 ，甲因事耽搁，9：00才出发。为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步 的速度是已步行速度的2.5倍，但每跑半小时都需要休息半小时，那 么甲什么时候才能追上乙？A.10:20 B.12:00 C.14:30 D.16:10 5. 小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。如果他 骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从A城去 B城需要多少分钟？A. 45 B. 48 C. 56 D. 60 6. 某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试，旅游 船从甲到乙顺水匀速行驶需3小时；从
13、乙返回甲逆水匀速行驶需4小时 。假设水流速度恒定，甲乙之间的距离为y公里，旅游船在静水中运 算匀速行驶y公里需要x小时，则x满足的方程为：A.1/3-1/X=1/X-1/4 B.1/3-1/X=1/X+1/4C.1/(X+3)=1/4-1/X D.1/(4-X)=1/X+1/3 等差、等比数列问题7. （1）1，2，8，（ ），1024（2）2，4，12，48，（ ）A96 B120 C240 D480 （3）1，1，2，6，（ ）A21 B22 C23 D24 （4）10，9，17，50，（ ）（5）6，15，35，77，（ ）A106 B117 C136 D163（6）2，8，24，64，（ ）A160 B512 C124 D164 利用递推规律找答案8(1) 1，3，4，7，11，( )A.14 B.16 C.18 D.20(2) 6，7，3，0，3，3，6，9，5，( )A.4 B.3 C.2 D.1(3) 1，2，2，3，4，6，( )A.7 B.8 C.9 D.10
