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1、44 事件的相互独立性事件的相互独立性显然这就是说,已知事件B发生,并不影响事件 A发生的概率,这时称事件A、B独立.A=第二次掷出6点，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设一、两事件的独立性B=第一次掷出6点，=P(A)若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A、B独立，或称A、B相互独立.1. 两事件独立的定义如，从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记：A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的问事件A、B是否独立？由于 P(A)=4/52=1/13, 故事件A、B独立.解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2P(AB)=P(A)P(B) 由于“甲命中”并
2、不影 响“乙命中”的概率，故 认为A、B独立 .2. 独立的几点说明在实际应用中,往往根据问题的实际意义或 凭经验去判断两事件是否独立. 如，甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲命中, B=乙命中，A与B是否独立？若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.因第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.一批产品共n件，从中抽取2件，设 ： Ai=第i件是合格品 i=1,2又如，因第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.=P(A)1- P(B)= P(A) P( )= P(A)- P(AB)P(A )= P(A - A B)A、B独立故A与 独立 . 概率的性质= P(A
3、)- P(A) P(B)仅证A与 独立若两事件A、B独立，则 也相互独立.证明:请问：如图的两个事件是独立的吗？ 结论： 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A 、B不互斥.而P(A) 0, P(B) 0故 A、B不独立P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即独立与互斥的关系1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(
4、A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：例1.1. 推广到三个事件：二、多个事件的独立性则称事件A、B、C相互独立.对于三个事件A、B、C，P(AB)= P(A)P(B)P(AC)= P(A)P(C)P(BC)= P(B)P(C)P(ABC)= P(A)P(B)P(C)若：四个等式同时成立,2. 推广到n个事件其中，包含等式总数为：设A1,A2, ,An是 n个事件，如果对任意k(1k n),任意1 i1i2 ik n,具有等式则称A1,A2, ,An为相互独立的事件.例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能
5、译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？ 将三人编号为1，2，3，记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3解：已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4P(A1 A2 A3)故能将密码译出的概率是P(A1 A2 A3)12已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4=1-1-P(A1)1-P(A2)1- P(A3) 3P(A1 A2 A3)注：n个独立事件和的概率公式:设事件 相互独立,则也相互独立也就是说，n个独立事件至少有一个发生 的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.P(A1 An)例3.
6、设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率。第i个人的血清中含肝炎病毒为事件Ai （i =1,2,100 ） 则解： 设这100个人的血清混合液中含肝炎病毒为事件A，一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元 件(或系统)的可靠性。系统由元件组成,常见的元件连接方式：串联：并联：1221例4. 系统的可靠性问题设两系统都是由4个元件组成,每个元件正常 工作的概率为 p , 每个元件是否正常工作相 互独立.两系统的连接方式如下图所示，试比 较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:A1A2B2B1S2:前面，我们介绍了事件独立性的概念.
7、不难发现，当事件相互独立时，乘法公式 变得十分简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独立的，则许多概率的计算就 可大为简化.55 独立重复试验独立重复试验 二项概率公式二项概率公式一、重复独立试验在实际问题中，经常要在条件相同的情况下重复进行某种试验，如抛币，定点投篮等。因为每次试验E的结果与其他试验无关，故称此类试验为“重复独立试验”。特殊的，若试验E只有两个可能的结果，则这种试验称为伯努利试验；重复进行的伯努利试验称为n重伯努利试验。在条件相同的情况下且每次试验的结果与其他次试验无关称为这 n 次试验是相互独立的。 试验可重复 n 次每次试验只有两个可能的结果： n重伯努利(Berno
8、ulli)试验概型：伯努利试验概型n重Bernoulli试验中事件A出现k次的概率记为：为为了直观观起见见，先考虑虑n=4的情况, 二、二项概率公式计算n重贝贝努利试验试验 中事件A发发生k次的概率。k=0, 1, 2, 3, 4.即求：二项概率公式例1. 八门炮同时独立地向一目标各射击一发 炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就 被击毁.如果每门炮命中目标的概率为0.6, 求目标被击毁的概率. 设一门炮击中目标为事件A, P(A) = 0.6设目标被击毁为事件B, 则解：例2. 某人进进行射击击, 每次命中率为为0.02, 独 立射击击400次, 试试求至少击击中两次的概率。伯努利 Ja
9、cob Bernoulli1654-1705瑞士数学家概率论的奠基人伯努利伯努利 (Jacob Bernoulli )简介伯努利家祖孙三代出过十多位数学 家. 这在世界数学史上绝无仅有.伯努利幼年遵从父亲意见学神学,当读 了 R 笛卡尔的书后,顿受启发,兴趣转向数 学.1694年,首次给出直角坐标和极坐标下 的曲率半径公式,同年关于双纽线性质的论 文,使伯努利双纽线应此得名.此外对对数螺线深有研究, 发现对数螺线经过各种变换后, 结果还是对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,遗言将对数螺线刻在自己的墓碑上, 并附以颂词 :纵使变化,依然故我1695年提出著名的伯努利方程：ex 6 ， 9 ，12，13作 业：P. 4445
