《平面与空间向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面与空间向量（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1节 向量与向量的加减法第五章 平面与空间向量要点要点 疑点疑点 考点考点1.向量的有关概念 (1)既有大小又有方向的量叫向量，长度为0的向量叫零向量 ，长度为1个单位长的向量，叫单位向量. (2)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量. 规定零向量与任一向量平行. (3)长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2.向量的加法与减法 (1)求两个向量和的运算，叫向量的加法，向量加法按平行 四边形法则或三角形法则进行.加法满足交换律和结合律. (2)求两个向量差的运算，叫向量的减法.作法是连结两向 量的终点，方向指向被减向量. 课 前 热 身1BC1.已知a,b方向相同，且|a|=3，
2、|b|=7，则|2a-b|=_. 2.如果AB=a,CD=b，则a=b是四点A、B、D、C构成平行四边 形的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.a与b为非零向量，|a+b|=|a-b|成立的充要条件是( ) (A)a=b (B)ab (C)ab (D)|a|=|b| CB4.下列算式中不正确的是( ) (A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC (C) 0AB=0 (D)(a)=()a 5.已知正方形ABCD边长为1，AB=a,BC=b,AC=c,则a+b+c的 模等于( ) (A)0 (B)3 (C)22 (D)2 能
3、力能力思维思维方法方法【解题回顾】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概 念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面要构建良好的 知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行 类比和联想.引导学生在理解的基础上加以记忆.1.给出下列命题：若|a|=|b|，则a=b；若A，B，C，D 是不共线的四点，则AB= DC是四边形ABCD为平行四边 形的充要条件；若a=b,b=c，则a=c；a=b的充要条件 是|a|=|b|且ab；若ab,bc，则ac. 其中，正确命题的序号是_，【解题回顾】解法1系应用向量加、减法的定义直接求解；解 法2则运用了求解含有未知向量x,y的方程组的方法2.在平行四边
4、形ABCD中，设对角线AC=a,BD=b，试用a,b表 示AB，BC.3.如果M 是线段AB 的中点， 求证：对 于任意一 点O，有OM= (OA+OB)【解题回顾】选用本例的意图有二，其一，复习向量加法的 平行四边形法则，向量减法的三角形法则；其二，向量内容 中蕴涵了丰富的数学思想，如模型思想、形数结合思想、分 类讨论思想、对应思想、化归思想等，复习中要注意梳理和 领悟.本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想. 【解题回顾】(1)以上证明实际上给出了所证不等式的几何解 释； (2)注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想. 4.对任意非零向量a,b，求证：|a|-|b|ab|a|+|b
5、|. 【解题回顾】充分利用等腰直角三角形这两个条件，转化 为|AB|=|BC|，ABBC延伸延伸拓展拓展5.在等腰直角三角形ABC中，B=90,AB=(1，3)，分别求 向量BC、AC误解分析误解分析2.需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不重复，不遗漏.1.在向量的有关习题中，零向量常被忽略(如能力思维方 法1.中)，从而导致错误第2节 实数与向量的积要点要点 疑点疑点 考点考点2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实 数，使得b=a1.实数与向量的积的概念 . (1)实数与向量a的积记作a，其长度|a|=|a|；方向规定如下： 当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的
6、方向与a的 方向相反；当=0时，a=0. (2)设、为实数，则有如下运算律：(a)=()a， (+)a=a+a，(a+b)=a+b3.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a=1e1+2e2 , 其中e1，e2叫基底.1.设命题p：向量b与a共线，命题q:有且只有一个实数，使得 b=a,则p是q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 2.给出下列命题：若a,b共线且|a|=|b|，则(a-b)(a+b)；已知 a=2e,b=3e，则a=3b/2；若a=
7、e1-e2 ,b=-3e1+3e2，且e1e2，则 |a|=3|b|；在ABC中，AD是BC上的中线，则AB+AC=2AD 其中，正确命题的序号是_3.(1)在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,那么用a和b表示向量 AC+DB为( ) (2)已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，设AB=e1，AD=e2， 则用e1, e2表示ED的表达式为( ) (A)2a (B)2b (C)0 (D)a+b 课 前 热 身B，ABD 4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1， 3)，若点C满足OC=OA+OB，其中a、R，且+=1,则点C的 轨迹方程为( ) (A)3x+
8、2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=05.设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，则PQ=_能力能力思维思维方法方法1.已知AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,其中e1,e2不 共线， (1)若A、B、C三点共线，求k值； (2)若A、B、D三点共线，求k值.【解题回顾】可利用向量共线的充要条件证明几何中的 三点共线问题.2.设ABC的重心为G，点O是ABC所在平面内一点，求证：OG= (OA+OB+OC)【解题回顾】当点O是ABC重心时，有OA+OB+OC=0；反过来 ，若P是ABC所
9、在平面内一点，且PA+PB+PC=0，则P必为 ABC的重心.事实上，由PA+PB+PC=0得：(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0，所以OP= (OA+OB+OC)，故P是ABC的重心3.已知OA、OB不共线，设OP=aOA+bOB，求证：A、P、B三点 共线的充要条件是a+b=1. 【解题回顾】由本题证明过程可知，若P是AB中点，则有OP= (OA+OB).利用本题结论，可解决一些几何问题.4.E是ABCD的边AB上一点，AE/EB=1/2，DE与对角线AC交于 F，求AF/FC.(用向量知识解答) 【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样： 设AE=e1，AD=e2，D、F、
10、E共线，可设AF=e1+(1-)e2，又 易知AC=3e1+e2根据A、F、C三点共线可得=3/4，故AF/FC=1/3. 另外还可以用坐标运算的方法来解，略. 延伸延伸拓展拓展5.如图，已知梯形ABCD中，ADCB，E，F分别是AD，BC边上 的中点，且BC=3AD，设BA=a,BC=b，以a,b为基底表示EF，DF， CD. 【解题回顾】本题实际上是平面向量的基本定理的应用.由于BA与 BC是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它 们表示出来. 误解分析误解分析1.很多人认为“若ab，则存在唯一实数使ba.”这是典型错 误.事实上，它成立的前提是a0.同样，在向量基本定理中，
11、若 e1，e2是共线向量，则不能用e1，e2表示与它们不共线的向量. 2.在能力思维方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分 清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0. 第3节 平面向量的坐标表示要点要点 疑点疑点 考点考点1.平面向量的坐标表示 (1)a(x，y)叫向量的坐标表示，其中x叫a在x轴上的坐标 ，y叫a在y轴上的坐标. (2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，R. 则a+b(x1+x2，y1+y2)， a-b(x1-x2，y1-y2)， a(x1，y1) (3)ab(b0)的充要条件是x1y2-x2y10 2.线段的定比分点 (1)定义：设P1、P2是直线l
12、上的两点，点P是l上不同于P1、 P2的任一点，则存在一个实数，使P1PPP2，叫点P分 有向线段P1P2所成的比，点P叫定比分点. (2)公式：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1PPP2，则当1时， 为中点坐标公式. 3.平移 设原坐标P(x，y)按向量a(h，k)平移后得到新坐标则1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点P(x，y)的坐标由公式 确定.当R且-1时有( ) (A)P表示直线AB上的所有点 (B)P表示直线AB上除去A的所有点 (C)P表示直线AB上除去B的所有点 (D)P表示直线AB上除去A、B的所有点 课 前 热 身C2.若对对n个向量a1、a
13、2、an，存在n个不全为为零的实实数k1 、k2、kn，使得k1a1+k2a2+knan=0成立，则则称向量a1 、a2、an为为“线线性相关”，依此规规定，能使a1=(1,0)， a2=(1,-1)，a3=(2,2)“线线性相关”的实实数k1、k2、k3依次可取的 值值是 _(写出一组组数值值即可，不必考虑虑所有情况 ) -4，2，13.三点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共线的充要条件是( ) (A)x1y2-x2y10 (B)(x2-x1)(x3-x1)(y2-y1)(y3-y1) (C)(x2-x1)(y3-y1)(x3-x1)(y2-y1) (D)x1y3-x3y10 CB4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c等于( ) 5.函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数 表达式为( ) (A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1 C能力
