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1、 利用图象求功之方法适用于当力对位移的关 系为线性时;或在表示力对位移关系的F-s示功图 中F(s)图线与s轴围成的图形“面积”有公式可依 时;因为在F-s示功图中，这种“面积”的物理意义 就是功的大小 方法 AsF0xW锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能 量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度x成正比，试求木桩每次打入的深度比 若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？ 专题专题8-8-例例1 1本题中的阻力f为一与位移x成正比的变力，即f=kx 示功图xF0x1x2x3lW0W0W0图中各阴影“面积” 表示第1、2 、3次锤击中，木桩克服阻力 做的功，数
2、值上等于锤传给木桩 的能量，设为W0 由图当xn=l时，由某质点受到F=6x2的力的作用，从x=0处移 到x=2.0 m处，试求力F做了多少功？ 专题专题8-8-例例2 2本题中的变力力F与位移x成F=6x2关系，F-x图线为抛物线 示功图24x/mF/N02W图中 “面积” 表示F力做的功 “面积” 由阿基米德公式由示功图得F力做的功如图所示，一质量为m，长为l的柔软绳索，一部分平直地放在 桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为 柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？由这一位置开始运动 ，柔绳刚离开桌面时的速度多大？ 设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长
3、度为x0，则由 柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理其中，重力功等于绳重力势能减少 摩擦力为线性变力：示功图xFf0l-x0Wfx一质点的质量为m，被固定中心排斥，斥力的大小 F=mr，其中r为质点离开此中心的距离在开始时，r0=a，v=0，求 质点经过位移a时所达到的速度大小 斥力为线性变化力！ 示功图rF0aaWF对示功图求梯形阴影“面积”对质点经过位移a的过程，由动能定理跳水运动员从高于水面H10 m的跳台自由落下，运动员的质 量m60 kg，其体形可等效为长度l1.0 m、直径d0.30 m的圆柱体，略去空气 阻力，运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面，F量值随入水深
4、度y变化 如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY和OF重合，为了确保运 动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？ 5mg/2YF0h对全过程运用动能定理:其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆“ 面积” :示功图入水过程中，浮力随入水深度y作线性变化示功图YF浮0l如果在某一位移区间，力随位移变化的关系 为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位 移区间分成n（n）个小区间s/n，在每个小 区间内将力视为恒定，求其元功Fi s/n ，由于功 是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个小 区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位 移中所做的功为：方法 B在数学上，确定元
5、功相当于给出数列通项 式，求总功即求数列n项和当n时的极限 半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内 的水完全吸尽，至少要做多少功？ 专题专题8-8-例例3 3r ri沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n 层，每一元层水的高度 r1i2 每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层 水柱底面的半径这层水的质量 将这层水吸出至少应做的元功是 将池水吸尽至少要做的功是 一个质量为m的机动小车，以恒定速度v在半径为 R的竖直圆轨道绕“死圈”运动已知动摩擦因数为，问在小车从最 低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？ 专题专题8-8-例例4 4小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最 高点的过程中
6、，由于轨道支持力是变力 ，故而摩擦力为一随位置变化的力！ xyOAB当小车运动在A处元圆弧段时 mgNA摩擦力在A处元功为当小车运动在与A关于x轴对称的B处元圆弧段时 mgNB续解摩擦力在B处元功为小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为查阅摩擦力在半圆周轨道上的总功计算水平直径以下段摩擦力的功： 续解水平直径以上段摩擦力的功： 将板沿板长均分为n（n）等份将木板在水平地面上绕其一端转动角，求所需要 做的功木板长度为L，质量为M，木板与地面之间的动摩擦因数 为 元摩擦力做功的位移为摩擦力对i段做的元功为则对木板的功 各元段摩擦力为从一个容器里向外抽空气，直到压强为p容器上 有一小孔
7、，用塞子塞着现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲 进容器？设外界大气压强为p0，大气密度为 pp0xs设小孔截面积为s，打开塞子 后孔外侧厚度为x的一薄层空气 在内、外压强差作用下冲入容器 ，获得速度v0，由动能定理:这种求功方法依据功对能量变化的量度关系 ，只须了解初、未能量状态，得到能量的增量 便是相应的功量 方法 C如图所示,一质量分布均匀的粗绳长2a，质量为2m ，两端悬于水平天花板上相距为a的两点而悬垂静止，其重心位 于天花板下方b处.现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至D点，求 拉力所做的功 D由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花 重力势能增加了 由功能原理，拉力功为专题专题8-8
8、-例例5 5由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势 能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量 Chh一质量为m的皮球，从高为h处自由下落（不计空气 阻力），反弹起来的高度为原来的3/4，要皮球反弹回h高处，求 每次拍球需对球做的功 专题专题8-8-例例6 6在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功， 使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功!牛顿碰撞定律：若两球碰撞前速度依次为v10、v20，碰 撞后速度为v1、v2，则碰撞后两者的分离速度v2 v1与 碰撞前两者的接近速度v20 v10成正比，比值e称恢复 系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即从h高度自由下落再反弹 的全过程,地面
9、弹力功W1: 从h高度拍下再反弹原高 的全过程,地面弹力功W2: 续解从h高下落未速度即与地接近速度:从地面反弹的起跳速度即与地分离速度:同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同:如图所示，有两个薄壁圆筒半径为R的圆筒绕自己的轴以角速 度转动，而另一个圆筒静止使两圆筒相接触并且它们的转轴平行，过一会儿， 由于摩擦两圆筒开始做无滑动的转动问有多少机械能转换成内能？（两圆筒的 质量分别为m1、m2） m1R m21根据题意，一段时间内m1线速度从 R 1R,而m2线速度从0 2r= 1R这种变化是因为两者间有大小 相等的一对力作用，这对力做功使 系统机械能(动能)转换成内能 ! 对系统,由动能定理:又,
10、由牛顿第二、三定律,一对力大小相等:功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量 度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功 的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以 由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基 本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据 功能关系基本认识 功能关系的具体认识 功能对应 规律借助功与能的具体对应关系，对运 动的功的量度问题作出正确的操作.确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数 和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；分析所研究过程的初、未两状态的动能，完 成等号右边对动能变化的表述 ；选定研究的对象与过程; 示例重力功量度重力势势能
11、的变变化：外力（可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它 力）做的总功量度动能的变化： 弹弹力功量度弹性势能的变化： 动能定理引力功量度引力势能的变化： 非重力弹力功量度机械能的变化： 势能定理功能原理电场电场 力功量度电势电势 能的变变化： （W非可以是摩擦力功、电场力功、安培 力功或其它非重力、弹簧弹力的功） 返回如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度H0=20 m， 其横断面是半径R=2 m的圆储水深h=1 m，如果用装在高H1=5 m 处、截面积为2 cm2的水龙头放水，问需要多久才能将水放完？ 专题专题8-8-例例7 7 根据题意，水箱中的水从底部截面积为s的 小孔流出，若流速为
12、vi，则时间ti内的水流 量Qi= vi ti S；总储水全部流尽的时间应为每层水放出时间的通项式为 全部水箱储水放尽的总需时为小孔流 速续解1i2n示例P0+P水P0设小孔处一小片厚x、面积S的液 片,在内外压力之合力作用下获得 速度v而离开小孔，由动能定理:P0返回PP+P水质量为m的小球以某一初速度竖直上抛，若运动中所 受阻力Ff=kv2，最大阻力为重力的0.44倍，试求小球上升的最大高度 H及落回抛出点时的速度vt 专题专题8-8-例例8 8 本题通过元过程的动能定理,用微元法求得终解!本题研究过程中有重力功与阻力功,其中阻力功 为耗散功,且为一按指数规律变化的力! 取上升过程中的某一
13、元过程：该过程小球上升了高度H/n(n )，速度 从vi减少为vi+1，各元过程中的阻力可视为不变为合外力根据动能定理，对该元过程有即对该式变形有 续解在各相同的上升高度H/n微元中，合外 力大小成等比数列递减、因而动能的增 量是成等比数列递减的，其公比为对上式两边取极限:同理,对下落过程由对此式两边取n次方当n极限:续解由题给条件小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五 查阅R一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意 点P，在重力作用下由静止开始往下滑，从Q点离开球面，求PQ两 点的高度差h 专题专题8-8-例例9 9 本题除重力外无非保守力的功,机械能守恒!设球半径为RP Q H
14、mgv由机械能守恒:Q点动力学方程为:由几何关系:若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下R/3的高度，释放高 度H越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型 xy如图甲所示，把质量均为m的两个小钢球用长为2L的线连接， 放在光滑的水平面上在线的中央O作用一个恒定的拉力，其大小为F，其方向沿 水平方向且与开始时连线的方向垂直，连线是非常柔软且不会伸缩的，质量可忽 略不计试求：当两连线的张角为2时，如图乙所示，在与力垂直的方向上 钢球所受的作用力是多少？钢球第一次碰撞时，在与力垂直的方向上，钢球 的对地速度为多少？经过若干次碰撞，最后两个钢球一直处于接触状态下运动 ，试求由于碰撞而失去的
15、总能量为多少？ OFO甲F 乙在如示坐标中分解力FF在与F垂直方向上线对钢球的力大小为设钢球第一次碰撞时沿F方向速度为vx， 垂直于F方向速度为vy，设力F的位移为x， 由动能定理 在x方向上:达到终态时，两球vy=0，F总位移X，有 军训中，战士距墙S0以速度v0起跳，如图所示，再用脚蹬墙面一 次使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为求 能使人体重心有最大总升高Hmax的起跳角 S0v0设抵达墙时战士速度为v，蹬墙后速 度为v,各矢量间关系如示， vgtv0v从起跳至上升至最高H处，由机械能守恒: 由矢量图所示关系: 质量为M、长为l的板放在冰面上，在板的一端坐着质
16、量为m的 小猫它要跳到板的另一端，问小猫对冰面的最小速度v0min应为多少？小猫为使跳 到板的另一端所消耗的能量最少， 问它的初速度v0应该与水平面成多大角？ 猫消耗能量E，使猫及木板获得初动能： 起跳时间t内m与M间水平方向相互作用力大小相等，故有猫从跳离板一端到落至板另一端历时由竖直方向分运动得 这段时间内猫对板的位移应满足 利用基本不 等式性质 ： 如图所示，厚度不计的圆环套在粗细均匀、长度为L的棒的上端 ，两者质量均为m，圆环与棒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为一常数， 为kmg（k1）棒能沿光滑的竖直细杆AB上下滑动，棒与地碰撞时触地时间极 短，且无动能损失设棒从其下端距地高度为H处由静止自由下落，与地经n次碰 撞后圆环从棒上脱落分析棒第二次碰地以前的过程中，环与棒的运动情况，求 出棒与环刚达到相对静止时，棒下端距地高度h；求出
