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1、1-4 独立性一、事件的独立性二、伯努利(Bernoulli)试验二、实际推断原理一、事件的独立性由条件概率我们知道,一般情况下P(B/A)P(B) ,但有时时也会出现现P(B/A)=P(B)的情况。例如:同时时抛掷掷两枚均匀的硬币币记记A=第一枚掷掷出正面,B =第二枚掷掷出正面 显显然P(B)=1/2,P(B/A)=1/2, 也就是说说,事件A是否发生不影响事件 B的发生,即P(B/A)= P(B),这时我们称事件A与B是相互独立的。 在事件A与B相互独立的情况下,乘法公式变得 非常简单,即 P(AB)=P(A)P(B) 我们就用上式来定义事件的独立性 定义:设A、B为两事件,若满足 P(
2、AB)=P(A)P(B)则称 A与B是相互独立的。例:从一幅不含大小王的扑克牌中任抽一张,记A=“抽到K”,B=“抽到黑色的牌”,问事件A与B是否独立?解:P(A)=4/52=1/13,P(B)=26/52=1/2, P(AB)=2/52=1/26,所以P(AB)=P(A)P(B)即A与B是相互独立的。说明:n个事件相互独立与两两独立的区别下面以3个事件为例:三个事件A、B、C相互独立,必须满足如下条件: P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 三个事件A、B、C两两独立,只需满足 P(AB)=P(A)P(
3、B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)一般情况下,当A、B、C两两独立时,等 式 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 不一定成立。例如:设有四张卡片分别标以数字1,2,3,4,今从中任取一张。设A表示事件“取到标有1或2的卡片”,B表示事件“取到标有1或3的卡片”,C表示事件“取到标有1或4的卡片”。试验证:1、事件独立性的重要结论(1)若事件A与事件B是相互独立的,则也是相互独立的 。 (2)设A1,A2,A3,An相互独立,则有 P(A1 A2 A3 An) (1)证明: (2) P(A1 A2 A3 An) 2、利用独立性求事件的概率注:实际应用中,对于事件的独
4、立性我们往往不是根据定义来判断,而是根据问题的实际意义来判断。例例1:1:甲、乙、丙三人进行射击,甲击中目标的概 率为0.6,乙击中目标的概率为0.55,丙击中目标的概率为0.45。令Ai=“第i人击中目标”,i=1,2,3。(1)求三人都击中目标的概率。(2)求目标被击中的概率。(1)解:P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.1485(2)P(A1+A2+A3)=例2: 假设每个人的血清中含有肝炎病毒的概率 为0.004,混合100个人的血清,求此混合血清中含有肝炎病毒的概率。解:设Ak=“第k人的血清中含有肝炎病毒”, k=1,2,,100B=“混合血清中含有肝炎病毒”二
5、、二、伯努利( BernoulliBernoulli )试验1. n次独立重复试验将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互 不影响,则称这n次试验是相互独立的.满足下列条件的试验称为Bernoulli试验:每次试验都在相同的条件下重复进行;2. n重贝努利试验每次试验只有两个可能的结果:A及 每次试验的结果相互独立若用 “ 表示n重贝努利试验中事件A发生k次的概率”,则n次试验中事件A发生k次的概率为:证明:在n重贝努利试验中,事件A在前k次出现,而在后n-k次不出现的概率为:若满足上述条件的试验重复进行n次,则称这 一串试验为n重贝努利(Bernoulii)试验。而事件A在n次试验中发生k次
6、的方式为:例例1 1: 将 一枚均匀的骰子掷4次,求3次掷出5点的概率的概率. .上式即为n重贝努利试验中事件A发生k次的概率计算公式。解:令A=“掷出5点”,表示表示4 4次抛掷中次抛掷中3 3次出现次出现5 5点的点的概率,概率,则:则:解解 :例例2:2: 设有产品100件,其中3件是次品。从中有放回 地任取5件,求: (1)取得次品数恰好为1件的概率; (2)取得次品数至多为2件的概率。三、实际推断原理实际推断原理:人们在长期实践中发现:概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的。例题:一张概率试卷共有10道选择填空题,每题有4个选择答案,其中只有一个是正确答案。某同学投机取巧,随意
7、填 空,试问他至少能填对6道题的概率是多大?解:设B=“他至少答对6道题”,A=“答对”,则第一章 小结1. 样本点、样本空间、随机事件2. 事件间的关系和运算3. 概率的基本性质4. 古典概型与几何概型5. 条件概率、乘法定理6. 全概公式与贝叶斯公式7. 事件的独立性和伯努利试验解:A=甲中靶, B=乙中靶, C=丙中靶;D=三发中恰两发子弹中靶,则练习1:甲、乙、丙三人向靶子各射击一次,结果有两发子弹中靶。已知甲、乙、丙中靶的概率分别 为4/5,3/4,2/3,求丙脱靶的概率。补充例题: 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击
8、中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6, 若被三人击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.Bj =飞机恰被击中j处, j=0,1,2,3解:Ai =第i人击中飞机, i=1,2,3C =飞机被击落 显然B0,B1,B2,B3构成样本空间的一个划分,且由全概率公式:即飞机被击落的概率为0.458.登徒子好色赋宋玉作者简介:宋玉(约公元前298约公元前222 ),宋玉所处的时代是战国后期,其生活时代主要 是楚顷襄王在位时期,卒于楚亡之时。宋玉知识 渊博,会写文章,又通晓音律。大夫登徒子侍于楚王,短宋玉曰:“玉为人体貌闲丽(体态文雅,容貌美丽),口多微辞(说话婉转而巧妙),
9、又性好色,愿王勿与出入后宫。”王 以登徒子之言问宋玉。玉曰:“体貌闲丽,所受于天 (天生的)也。口多微辞,所学于师也。 至于好色,臣无有也。”王曰:“子不好色,亦有 说乎?有说则止,无说则退。”玉说:“天下之佳人莫若楚国,楚国之丽者莫若臣里,臣里之美者 莫若臣东家之子。东家之子,增一分则太长,减 之一分则太短,著粉则太白,施朱则太赤。眉如 翠羽,肌如白雪,腰如束素,齿如含贝(牙齿整齐洁白)。嫣然一笑(笑得很美的样子),惑阳城,迷 下蔡。然此女登墙窥臣三年,至今未许也。登徒 子则不然。其妻蓬头挛耳(头发蓬乱,蜷曲耳朵)齞唇历齿(齞yan,暴牙露齿),旁行踽偻(踽ju,既驼又瘸),登徒子悦之,使有五子。王孰察 之,谁为好色者矣。”