《常微分方程2.2 变量可分离方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程2.2 变量可分离方程（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、形如 （2.2.1） 的方程称为变量可分离方程。2.2 变量可分离方程这里是连续函数.该方程的特点:方程的右端是两个独立的一元函数之积.1一、 变量可分离方程的求解当 方程（2.2.1）两边同除以 得 这样对上式两边积分得到例2.2.1求微分方程的通解。2注：求方程通解时，我们假设 若 时得 y 值也可能为方程的解。解：变量分离后得上式两边积分得整理得其中该解在无定义, 故通解在中有定义.所以要考虑 的情况， 该方程对应的解我们称为常数解.3例 2.2.2 求微分方程的通解.解: 变形为积分得:求积分得:解得: 4记则因为可得故所有的解为:5解通解：6二、 齐次方程齐次函数: 函数称为m次齐次
2、函数, 如果齐次方程: 形如的方程称为齐次方程。 引入一个新变量化为变量可分离方程。求解思想:7例2.2.3 求下面初始值问题解：方程为齐次方程，令求导后得分离变量得事实上, 令则故有即8积分上式得用 代入得利用初始条件 可定出 代入上式解出 9求解微分方程微分方程通解：解10解方程解 改写方程：齐次方程方程变为：两边积分：11分析解方程变为齐次方程12两边积分通解：分离变量13三、 可化为齐次方程的方程形如的方程可化为齐次方程.其中都是常数.1. 当时, 此方程就是齐次方程 . 2. 当时, 并且(1)14此时二元方程组有惟一解引入新变量此时, 方程可化为齐次方程:15(2) 若则存在实数使
3、得:或者有不妨是前者, 则方程可变为令则163. 对特殊方程令则17例2.2.4求方程 的通解。 解：解方程组 得 令 代入原方程可得到齐次方程令 得18还原后得原方程通解为变量分离后积分19解代入原方程得非齐次型方程.方程组齐次型方程.方程变为20分离变量法得原方程通解21例:雪球融化问题设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。解:设t 时刻雪球的体积为 ，表面积为 球体与表面积的关系为 2.2.3变量可分离方程的应用22引入新常数 再利用题中的条件得分离变量积分得方程
4、得通解为再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。 23游船上的传染病人数.一只游船上有800人,12小时后有3人发病.故感染者不能被及时隔离. 设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比.一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状,直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.解 设y ( t )表示发现首例病人后 t 小时的感染人数。其中k 0为比例常数.可分离变量微分方程初始条件:24两边积分,通解分离变量25直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数。26车灯的反射镜面-旋转抛物面解27两边积分28抛物线29P.50 1（1，4，5，9，15）2（1，3），6作 业30
