高考数学 (2)

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1、第1页 *第四十讲二项式定理第2页 *走进高考第一关 基础关教 材 回 归 第3页 *1.二项式定理公式(a+b)n=_(nN*)所表示的定理,叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的_.二项展开式第4页 *2.二项式定理的特征(1)项数:二项展开式共有_项.(2)通项公式:(a+b)n的二项展开式中的_叫做二项展开式的通项,用_表示,则有_.(3)二项式系数:二项展开式第r+1项的二项式系数为_.n+1Tr+1第5页 *3.二项式系数的性质(1)对称性:在二项展开式中,首末两端_的两个二项式系数相等,即“等距离”第6页 *(2)增减性与最大值:二项式系数 时,二项式系数是_;当 时,二

2、项式系数是_.当n是偶数时,_取得最大值.当n是奇数时,中间两项_和_相等,且同时取得最大值.递增的递减的第7页 *(3)各二项式系数的和(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于_,即 =_.(4)二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于_,即+=_.奇数项的二项式系数的和第8页 *考 点 陪 练第9页 *1.二项式(a+2b)n展开式中的第二项系数是8,则它的第三项的二项式系数为( )A.24B.18C.16D.6答案:D第10页 *2. 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )A.0B.2C.4D.6答案:B第11页 *3. 展开式中常数项是( )答案:B第12页 *4. 的展开式中

3、,x的偶次项系数之和是( )A.-2048B.-1023C.-1024D.1024答案:C第13页 *5. 展开式中有理项的个数为( )A.4B.5C.6D.7答案:A第14页 *解读高考第二关 热点关 第15页 *类型一:求展开式中的指定项和特定项解题准备:利用展开式中Tr+1可求如下问题:(1)求指定项.(2)求特定项,如常数项,即字母的次数为0.(3)求指定项、特定项的系数.第16页 *典例1已知在 的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.第17页 *分析 利用通项确定n,进而根据指定项的特征求解,通项公式为第18页 *rZ,k应为

4、偶数,k=2,0,-2,即r=2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为405x2,-61236,295245x-2.第19页 *评析 (1)本题是先求二项式的指数,再求与通项有关的其他问题.一般地,解此类问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r均为非负整数,且nr的隐含条件);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.此外,解本题时,为减少计算中的错误,宜把根式化为分数指数幂.第20页 *(2)题设展开式中有常数项的条件,实际上隐含了未知数的零次项的存在,所以n-2r=0,因此,由有常数项的条件可求得n

5、.反之,若已知n,求展开式中常数项时,可先假设展开式的第r+1项为常数项,合并通项中同一字母的指数得f(r),然后令f(r)=0,从中求得r的非负整数值,即得所求的项.第21页 *(3)求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数.求解方式与求有理项一致.第22页 *类型二:二项式系数的性质解题准备:求二项式系数最大的项:如果n是偶数,则中间一项第( )项的二项式系数最大;如果n是奇

6、数,则中间两项第 项与第 项的二项式系数相等且最大;第23页 *求展开式系数最大的项:如求(a+bx)n(a,bR)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A1,A2,An+1,且第r+1项系数最大,应用解出r来,即得系数最大的项.第24页 *典例2已知 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992,求 的展开式中.(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.分析 根据二项系数的性质,列方程求解n,系数绝对值最大问题需要列不等式组求解.第25页 *第26页 *(2)设第r+1项的系数的绝对值最大,第27页 *评析 在运用二项式定理时

7、不能忽视展开式中系数的正负符号.当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异:二项式系数只与二项式的指数和项数有关,与二项式无关;而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关,还与二项式有关.值得注意的是,本例中是求“系数的绝对值最大的项”,若改为“系数最大的项”又该如何处理?因为第4项的系数为负值,所以系数最大项必是第3项或第5项中的某一项.比较这两项的系数 大小即可.第28页 *类型三:求展开式中各项系数和解题准备:1.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m,(a、b、cR)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各

8、项系数之和,只需令x=y=1即可.第29页 *2.一般地,若 ,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为偶数项系数之和为第30页 *第31页 *解 所求结果与各项系数有关,可以考虑用“特殊值”法,整体解决.第32页 *第33页 *类型四:二项式定理的应用解题准备:新课程标准要求能用二项式定理证明一些简单的问题,在某些综合性试题中,特别是与数列不等式有关的一些问题中,用二项式定理证明不等式有时显得简便灵活,也能突出体现新课标高考“能力立意”的高考动向.第34页 *典例4(1)求证:1+2+22+25n-1(nN*)能被31整除.(2)求 除以9的余数.分析 将已知式子适当整理化

9、简,再根据题目要求选择合适的二次展开式求解.第35页 *第36页 *第37页 *评析 利用二项式定理解决整除性问题时,关键是巧妙地构造二项式,其基本思路是:要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此,一般将被除式化为含有相关除式的二项式,然后再展开,此时常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识来处理.第38页 *笑对高考第三关 成熟关名 师 纠 错 第39页 *误区一:理解概念失误典例1求2100除以9的余数.显然,2100除以9的余数为-2.第40页 *剖析 错解中理解概念失误,误认为-2就是余数,其实不然,余数一定是正整数

10、,于是,对结果要进行转化,由 可以看出, 除以9的余数为7.误区二:混淆项的系数与二项式系数第41页 *典例2将二项式 的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,求展开式中含x的项.第42页 *剖析 错解中混淆了项的系数与二项式系数,其实,题目要求的是项的系数,而错解中用的是二项式系数.第43页 *误区三:混淆第r项与第r+1项典例3设 试问 的展开式中的第几项最大?错解 设通项为Tr+1的项最大,第44页 *剖析 二项展开式的通项公式 是第r+1项,而不是第r项;错解就误认为是第r项,其实,应该是展开式中的第30项最大.第45页 *解 题 策 略 第46页 *根据历年来高考命题在本部分

11、的考查及大纲要求,本单元命题特点应保持稳定,因此二项式定理仍为必考内容,其中考查通项相关知识点的可能性较大,因此学习时宜采用以下策略:第47页 *1.运用二项式定理一定要牢记通项 ,注意 虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不相同的,我们一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念,前者只指 ,而后者是除字母外的部分.第48页 *2.对于二项式系数问题,应注意以下几点:(1)求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1;(2)关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法;(3)证明不等式时,应注意运用放

12、缩法.第49页 *3.求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求r,再求Tr+1,有时还需先求n,再求r,才能求出Tr+1.4.有些三项式展开式问题可以通过变形变成二项式问题加以解决;有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚、不重不漏.5.对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.6.近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.第50页 *7.用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”配合整除的有关知识来解决.第51页 *快 速 解 题 第52页 *分析 第(1)小题可先求

13、出a0+a1+a7,再求a0+a2+a4+a6和a1+a3+a5+a7;第(2)小题可使两项结合,使之具有二项式的形式,然后依通项公式求出r可得.第53页 *第54页 *第55页 *第56页 *方法与步骤 第(1)小题详解虽不简便,但给出了如何求奇数项与偶数项系数和的方法.第(2)小题将x与 结合后展开,由于项数不多,展开后反而易算.快解第(1)小题更简便,看作(1+2x)7的系数即可.第(2)小题利用通项公式,仍然是考虑 的偶次幂.第57页 *得分主要步骤 详解中第(1)小题要算出四式来,还要说明a1、a3、a5、a7都小于零,第(2)小题要说明常数在 的偶次幂展开中出现,结果便不难得到.易丢分原因 有关二项式的题目,只要符号不错,一般都能做对.易丢分在利用通项公式求r时,r的值与r对应的项,某些同学可能会求错.第58页 *教 师 备 选 第59页 *三项展开式例谈通过学习二项式定理,对此类问题已比较熟悉,但对有关三项式问题,可能感到困难,下面以一道题为例,浅析三项展开式的解答策略.第60页 *典例 的展开式中的常数项为_.一、利用二项展开式先把三项