《考研高数总复习第十章线性函数第二节(讲义)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研高数总复习第十章线性函数第二节(讲义)（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主要内容主要内容线性函数的和与数量乘积线性函数的和与数量乘积L L( (V V , , P P) ) 的维数的维数第二节第二节 对偶空间对偶空间对偶空间对偶空间一、线性函数的和与数量乘积一、线性函数的和与数量乘积设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间，V 上全体线性函数组成的集合记作 L(V , P).可以用自然的方法在 L(V , P) 上定义加法和数量乘法.1. 1. 线性函数的和线性函数的和定义定义2 2 设设 f f , , g g 是是 V V 的两个线性函数，定义函的两个线性函数，定义函数数 f f + + g g 如下：如下：( (f f + + g g )( )( ) =
2、) = f f ( ( ) + ) + g g ( ( ) , ) , V V . .f f + + g g 称为称为 f f , , g g 的的和和. .性质性质 f f + + g g 是线性函数是线性函数. .证明证明(f + g )( + ) = f ( + ) + g ( + )= f ( ) + f () + g ( ) + g ()= (f + g )( ) + (f + g )() ，(f + g )(k ) = k f ( ) + k g ( ) = k(f + g )( ) .证毕证毕2. 2. 数量乘积数量乘积定义定义3 3 设设 f f 是是 V V 上线性函数，对上
3、线性函数，对 P P 中任意中任意数数 k k，定义函数，定义函数 k fk f 如下：如下：( (k fk f ) ( ) ( ) = ) = k k ( (f f ( ( ) ) ， V V ，k f k f 称为称为 k k 与与 f f 的的数量乘积数量乘积 . .容易证明 k f 也是线性函数.容易检验，在这样定义的加法和数量乘积下，在这样定义的加法和数量乘积下，L L( (V V , , P P) ) 成为数域成为数域 P P 上的线性空间上的线性空间. .二、二、 L L( (V V , , P P) ) 的维数的维数取定 V 的一 组基 1 , 2 , , n , 作 V 上
4、n 个线性函数 f1 , f2 , , fn , 使得因为 fi 在基 1 , 2 , , n 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对 V 中向量有fi() = xi , (2)即 fi() 是 的第 i 个坐标的值.引理引理 对对 V V 中任意向量中任意向量 ，有，有而对而对 L L( (V V , , P P) ) 中任意向量中任意向量 f f , , 有有证明证明(3) 是 (2) 的直接结论，而由 (1) 及 (3)就得 证毕证毕定理定理 2 2 L L( (V V , , P P) ) 的维数等于的维数等于 V V 的维数，而且的维数，而且f f1 1, , f f2 2,
5、 , , , f fn n 是是 L L( (V V , , P P) ) 的一组基的一组基. .证明证明首先证明 f1 , f2 , , fn 是线性无关的.设c1 f1 + c2 f2 + + cn fn = 0 (c1 , c2 , , cn P) .依次用 1 , 2 , , n 代入，即得c1 = c2 = = cn = 0 .因此 f1 , f2 , , fn 是线性无关的.又由知 L(V , P) 中任一向量都可由 f1, f2, , fn 线性表出，所以 f1 , f2 , , fn 是 L(V , P) 的一组基，于是dim L(V , P) = n = dim V .证毕证
6、毕三、三、 对偶空间对偶空间1. 1. 定义定义定义定义 4 4 L L( (V V , , P P) ) 称为称为 V V 的的对偶空间对偶空间. .L L( (V V , , P P) ) 的一组基的一组基称为称为 1 1, , 2 2, , , , n n 的的对偶基对偶基. .以后我们简单地把 V 的对偶空间记为 V * .例例 考虑实数域 R 上的 n 维线性空间 V = Pxn对任意取定的 n 个不同实数 a1 , a2 , , an , 根据拉格朗日插值公式，得到 n 个多项式它们满足p1(x) , p2(x) , , pn(x) 是线性无关的，因为由c1 p1(x) + c2
7、p2(x) + + cn pn(x) = 0 ，用 ai 代入，即得 又因 V 是 n 维的，所以 p1(x) , p2(x) , , pn(x) 是 V 的一组基 .设 Li V * ( i = 1 , 2 , , n ) 是在 ai 点的取值函数：Li(p(x) = p(ai) , p(x) V , i = 1 ,2 , , n .则线性函数 Li 满足因此，L1 , L2 , , Ln 是 p1(x) , p2(x) , , pn(x) 的对偶基.2. 2. 两组基的对偶基之间的关系两组基的对偶基之间的关系设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间.1 , 2 , , n 及 1 , 2
8、 , , n 是 V 的两组基. 它们的对偶基分别是 f1 , f2 , , fn 及 g1 , g2 , , gn . 再设(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) A，(g1 , g2 , , gn ) = (f1 , f2 , , fn ) B，其中由假设i = a1i1 + a2i2 + + anin , i = 1 , 2 , , n. gj = b1j f1 + b2j f2 + + bnj fn , j = 1 , 2 , , n. 因此= b1j a1i + b2j a2i + + bnj ani =1 , i = j ;0 , i j ,i , j =
9、1 , 2 , , n .由矩阵乘法定义，即得BTA = E ，即 BT = A-1 .因此有下述定理：定理定理 3 3 设设 1 1, , 2 2, , , , n n 及及 1 1, , 2 2, , , , n n是线性空间是线性空间 V V 的两组基，它们的对偶基分别为的两组基，它们的对偶基分别为 f f1 1, , f f2 2, , , , f fn n 及及 g g1 1, , g g2 2, , , , g gn n . .如果由如果由 1 1, , 2 2, , , , n n 到到 1 1, , 2 2, , , , n n 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 A A，那么由，那么由
10、 f f1 1, , f f2 2, , , , f fn n 到到 g g1 1, , g g2 2, , , , g gn n 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 ( (A AT T) )-1-1. .设 V 是 P 上一个线性空间，V * 是其对偶空间,取定 V 中一个向量 x ，定义 V * 的一个函数 x* 如下：x*( f ) = f (x) , f V * .根据线性函数的定义，容易检验 x* 是 V * 上的一个线性函数，因此是 V * 的对偶空间 (V * )* = V * * 中的一个元素.定理定理 4 4 V V 是一个线性空间，是一个线性空间，V V * 是是 V V 的对偶的对
11、偶空间的对偶空间空间的对偶空间. .V V 到到 V V * * 的映射的映射x xx x *是一个同构映射是一个同构映射. .证明证明对任意 x1 , x2 V , f V* 有(x1 + x2 )* ( f ) = f (x1 + x2 )= f (x1) + f (x2)= x1* ( f ) + x2* ( f ) = (x1* + x2 * ) ( f ) ，(kx1)* ( f ) = f (kx1) = k f (x1) = k x1* ( f ) = ( k x1*)( f ) . 因此(x1 + x2 )* = x1* + x2 * ，(kx1)* = k x1* .所以这个
12、映射保持加法和数量乘法.如果 x* 为 V * 上零函数，即对任一 f V* 都有f (x) = 0 ,则由得，x = 0 .故这个映射是单射，又因V 与 V * 维数相同, 所以这个映射是一个同构映射.证毕证毕这个定理说明，线性空间 V 也可看成 V * 的线性函数空间，V 与 V * 实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂
13、课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本
14、节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 !
