《课堂授课专题4：数学物理方程的计算机求解和可视化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《课堂授课专题4：数学物理方程的计算机求解和可视化（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计专题专题4 4：数学物理方程的计算机求解：数学物理方程的计算机求解 和可视化和可视化数学物理建模与计算机辅助设计Page 2本专题主要内容与参考资料本专题主要内容与参考资料主要内容主要内容 偏微分方程的计算机仿真求解方法偏微分方程的计算机仿真求解方法双曲型双曲型（HyperbolicHyperbolic）：波动方程波动方程的求解的求解与可视化与可视化抛物型抛物型（ParabolicParabolic）：）：热传导方程热传导方程的求解与可视化的求解与可视化椭圆型椭圆型（EllipticElliptic）：）：稳定场方程稳定场方程的求解与可视
2、化的求解与可视化特征值问题特征值问题的求解与可视化的求解与可视化 利用利用MatlabMatlab的的PDEPDE工具箱求解并进行可视化工具箱求解并进行可视化参考资料参考资料 杨华军杨华军, , 数学物理方法数学物理方法, , 电子工业出版社电子工业出版社 彭芳麟彭芳麟, , 数学物理方程的数学物理方程的MatlabMatlab解法与可视化解法与可视化, , 清华大学出版社清华大学出版社数学物理建模与计算机辅助设计仿真求解偏微分方程的类型仿真求解偏微分方程的类型通用的线性二阶偏微分方程通用的线性二阶偏微分方程：偏微分方程类型分为：偏微分方程类型分为：双曲型方程：双曲型方程： 抛物型方程：抛物型
3、方程： 椭圆型方程：椭圆型方程： 特征值问题：特征值问题： 特征值偏微分方程中不含参数特征值偏微分方程中不含参数f f . .Page 3数学物理建模与计算机辅助设计偏微分方程的仿真求解方法偏微分方程的仿真求解方法偏微分方程的计算机仿真求解方法：偏微分方程的计算机仿真求解方法：（1 1）MATLABMATLAB的偏微分方程工具箱（的偏微分方程工具箱（PDE ToolboxPDE Toolbox）有限元法有限元法（2 2）MATLABMATLAB仿真，仿真，MM文件编程文件编程典型偏微分的解的典型偏微分的解的静态静态（或（或动态动态）三维可视化。三维可视化。Page 4数学物理建模与计算机辅助设
4、计有限元法有限元法定义定义 将将连续连续的求解域的求解域离散离散成一组有限个、按照一定方式成一组有限个、按照一定方式 相互连结在一起的单元的组合体。相互连结在一起的单元的组合体。 将将PDEPDE转换成转换成离散的线性代数方程离散的线性代数方程系统进行求解。系统进行求解。特点特点 各种复杂单元可以用来对复杂的几何形状的求解域各种复杂单元可以用来对复杂的几何形状的求解域 进行进行模型化处理模型化处理。 各各节点上的解的近似函数节点上的解的近似函数可以用来求解整个求解域可以用来求解整个求解域 上任意点的结果。上任意点的结果。Page 5数学物理建模与计算机辅助设计MATLABMATLAB的偏微分方
5、程工具箱（的偏微分方程工具箱（PDE ToolboxPDE Toolbox）用图形用户界面（用图形用户界面（Graphical User InterfaceGraphical User Interface，简记作，简记作GUIGUI）求解）求解 PDEPDE问题主要采用问题主要采用以下三个以下三个步骤：步骤： (1)(1) 设置设置PDEPDE的的定解问题定解问题即设置二维即设置二维定解区域定解区域、边界条件边界条件以及以及方程的形式和系数方程的形式和系数； (2) (2) 用用有限元法（有限元法（FEMFEM）求解求解PDEPDE即即网格的生成网格的生成、方程的离散方程的离散 以及求出以及求
6、出数值解数值解；MeshMesh：生成网格，自动控制网格参数：生成网格，自动控制网格参数Solve Solve：求解设置初始边值条件后，能给出：求解设置初始边值条件后，能给出t t时刻的解；可以求出区间内时刻的解；可以求出区间内 的特征值求解后可以加密网格再求解的特征值求解后可以加密网格再求解 (3) (3) 解的解的可视化可视化从从GUIGUI使用使用PlotPlot方法实现可视化用方法实现可视化用ColorColor、HeightHeight、VectorVector等作图等作图 对于含时方程，还可以生成解的动画对于含时方程，还可以生成解的动画 用用PDE PDE ToolboxToolb
7、ox可以求解的可以求解的基本方程基本方程有：有：椭圆方程椭圆方程、抛物抛物 方程方程、双曲方程双曲方程、特征值方程特征值方程、椭圆方程组椭圆方程组以及以及非线性椭圆非线性椭圆 方程方程。Page 6数学物理建模与计算机辅助设计偏微分方程工具箱求解定解问题偏微分方程工具箱求解定解问题例例1 1 解热传导方程解热传导方程 边界条件是齐次类型（边界条件是齐次类型（ u u=0=0），定解区域自定。），定解区域自定。 【解解】 第一步：启动第一步：启动MATLABMATLAB，键入命令，键入命令pdetoolpdetool并回车，就进入并回车，就进入GUIGUIOptions Options Grid
8、Grid，打开栅格，打开栅格 第二步：选定定解区域第二步：选定定解区域绘制绘制椭圆椭圆E1E1、圆、圆E2E2、矩形、矩形R1R1、圆、圆E3E3; ;在在Set formulaSet formula栏中键入栏中键入E1-E2+R1-E3.E1-E2+R1-E3. 第三步：选取边界第三步：选取边界 BoundaryBoundary Boundary ModeBoundary Mode，进入边界模式，进入边界模式； BoundaryBoundary Remove All Subdomain BordersRemove All Subdomain Borders，去掉子域边界，去掉子域边界; ;
9、BoundaryBoundary Specify Boundary ConditionsSpecify Boundary Conditions Boundary ConditionsBoundary Conditions 齐次齐次DiricletDiriclet条件条件. .Page 7数学物理建模与计算机辅助设计偏微分方程工具箱求解定解问题偏微分方程工具箱求解定解问题边界边界条件：条件： 解方程所需要的边界条件可以是以下两种形式：解方程所需要的边界条件可以是以下两种形式：Page 8狄利克里狄利克里（DiricletDiriclet）边界条件）边界条件广义诺依曼广义诺依曼（NeumannNe
10、umann）边界条件）边界条件齐次齐次边界条件：边界条件： g g=0=0，r r =0=0第一类第一类边界条件：边界条件： DiricletDiriclet边界条件边界条件第三类第三类边界条件：边界条件： NeumannNeumann边界条件边界条件第二类第二类边界条件：边界条件： q q=0=0数学物理建模与计算机辅助设计偏微分方程工具箱求解定解问题偏微分方程工具箱求解定解问题第四步：设置方程类型第四步：设置方程类型 PDE ModePDE ModePDE SecificationPDE Secification，选择选择方程类型方程类型: :抛物型抛物型第五步：第五步：划分划分网格网格M
11、eshMesh Initialize MeshInitialize Mesh，网格剖分，网格剖分；MeshMesh Refine MeshRefine Mesh，网格密集化，网格密集化. .第六步：第六步： 解偏微分方程并显示图形解解偏微分方程并显示图形解SolveSolve Solve PDESolve PDE，解偏微分方程并显示图形解，解偏微分方程并显示图形解。第七步：第七步：三维可视化三维可视化PlotPlot ParameterParameter，选择选择Color, Height(3-D plot)Color, Height(3-D plot)，Show meshShow mesh第
12、八步：第八步：绘制绘制等值线图和矢量场图等值线图和矢量场图PlotPlot ParameterParameter，选择选择ContourContour和和ArrowsArrowsPlotPlotPage 9数学物理建模与计算机辅助设计双曲型双曲型：波动方程波动方程的求解与可视化的求解与可视化双曲型双曲型：波动方程波动方程的求解的求解与与静态静态（或（或动态动态）三维可视化三维可视化1. 1. 求解双曲型方程求解双曲型方程求解双曲型方程调用形式如下：求解双曲型方程调用形式如下：u1=hyperbolic（u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d）Page 10（a a、c c、d
13、 d、f f是参数）是参数）初始条件初始条件utut即是即是网格坐标描述矩阵网格坐标描述矩阵决定方程的类型决定方程的类型时间矩阵时间矩阵边界条件边界条件数学物理建模与计算机辅助设计双曲型双曲型：波动方程波动方程的求解与可视化的求解与可视化网格初始化命网格初始化命令：令：(1) p,e,t=(1) p,e,t=initmeshinitmesh(g)(g)将求解区域进行将求解区域进行三角形网格化三角形网格化，输出的，输出的p p、e e、t t是网格数据是网格数据 p-p-描述描述网格中点的网格中点的x x、y y坐标坐标 e-e-边缘矩阵，边缘矩阵， t- t-三角矩阵，描述区域的顶点三角矩阵，
14、描述区域的顶点 g-g-描述求解区域几何形状描述求解区域几何形状(2) p,e,t=(2) p,e,t=refinemeshrefinemesh(g,p,e,t) (g,p,e,t) 迭代过程，得到更细小的网格，使结果更精确迭代过程，得到更细小的网格，使结果更精确Page 11数学物理建模与计算机辅助设计双曲型双曲型：波动方程波动方程的求解与可视化的求解与可视化2. 2.动画图形显示动画图形显示 将所得的解形象地表示出来，为了加速绘图，首先把三角将所得的解形象地表示出来，为了加速绘图，首先把三角 形网格转化成矩形网格调用形式如下：形网格转化成矩形网格调用形式如下：(1) uxy=(1) uxy
15、=tri2gridtri2grid（p p，t t，u1u1，x x，y y） (2) uxy,tn,a2,a3=(2) uxy,tn,a2,a3=tri2gridtri2grid(p,t,u,x,y) (p,t,u,x,y) (3) uxy= (3) uxy=tri2gridtri2grid(p,t,u,tn,a2,a3) (p,t,u,tn,a2,a3) 用此命令之前，应先用一个用此命令之前，应先用一个tri2gridtri2grid命令得出矩阵命令得出矩阵tntn、a2a2、 a3a3用此方法可以加快速度用此方法可以加快速度 Page 12三角形网格的矩阵三角形网格的矩阵矩形网格的坐标点矩形网格的坐标点 各时刻三角形网格中的解各时刻三角形网格中的解插值法求得矩形插值法求得矩形 网格点上的网格点上的u u值值内插法的系数内插法的系数格点的指针矩阵格点的指针矩阵数学物理建模与计算机辅助设计双曲型双曲型：波动方程波动方程的求解与可视化的求解与可视化主要的绘图（包括动画）命令函数有：主要的绘图（包括动画）命令函数有： movieinmoviein、moviemovie、pedplotpedplot、pdesurfpdesurf等等Page 13数学物理建
