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1、第第2 2章续章续 几何元素间的相对位置几何元素间的相对位置及综合问题解题方法及综合问题解题方法1 平行问题 2 相交问题3 垂直问题4 综合问题分析及解法 直线与平面平行 两平面平行1 平行问题 直线与平面平行DBCAP若：ABCD 则则：ABP若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作 图问题的依据。几何条件：有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。fg f g结论结论 ：直线线AB不平行于定平面例1 试判断直线AB是否平行于定平面nacbmabcmn例2 过M点作直线MN
2、平行于平面ABC 。有无数解ddX正平线例3 过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC 。唯一解cbamabcmnnddXb aaffb例4 试过点K作水平线AB平行于CDE平面直线线与特殊位置平面平行 当平面为为投影面的垂直面时时，只要平面有积积聚性的投影和直线线 的同面投影平行，或直线线也为该为该 投影面的垂线线，则则直线线与平面必 定平行。 两平面平行若一个平面内的相交二直线与另一个 平面内的相交二直线对应平行，则此两平 面平行。这是两平面平行的作图依据。判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的 所缺投影。几何条件：两平面平行的作图问题有
3、：两平面平行 若一平面上的两相交直线分别平行于另 一平面上的两相交直线，则这两平面相互平 行。AB；AC； 则则：PQ 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必相互平行。两特殊位置平面平行 cfbdeaa bcd efXfgabcdefgabcdeX两特殊位置平面平行 两一般位置平面平行 a cebbaddfcfekhkhOXmm由于ek 不平行于 ac,故两 平面不平 行。例1 判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知ABCDEFMH例2 试判断两平面是否平行m nmnr rss结论结论 ：两平面平行em n mnfe fsr srk k例3 已知定平面由平行两直线AB
4、和CD给定。 试过点K作一平面平行于已知 平面 。例4 试判断两平面是否平行。结论结论 ：因为为PH平行SH，所以两平面平行 直线与平面相 交 两平面相 交2 相交问题直线与平面相交，其交点是直线与平面的 共有点。1. 直线与平面相 交要讨论的问题：(1) 求直线与平面的交点。(2) 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。我们将分别讨论一般位置的直线与平面 或至少有一个处于特殊位置的情况。2. 两平面相交两平面相交其交线为 直线，交线是两平面的 共有线，同时交线上的 点都是两平面的共有点 。 要讨论的问题： 求两平面的交线 方法： 确定两平面的两个共有点。 确定一个共有点及交线的方向。 判
5、别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。2.1 2.1 特殊位置线面相交特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交1. 直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积积聚性，交点可直接求出。bba acc m mnn k k2. 判断直线的可见性特殊位置线线面相交，根据平面的积积聚性投影，能直接判别别直线线的可见见性。 kb ba acc m mnnk 例1 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性 。 空间及投影分析:平面ABC是一铅垂面 ，其水平投影积聚成一 条直线，该直线与mn的 交点即为K点的水平投 影。 求交点 判别可见性由
6、水平投影可知，KN 段在平面前，故正面投 影上k n 为可见。还可通 过重影点判别可 见性。 平面为特殊位置abcmncnbamkk1 (2 )2 1Xk m(n)bmncbaac 直线为特殊位置空间及投影分析:直线MN为铅垂线，其水 平投影积聚成一个点，故 交点K的水平投影也积聚在 该点上。 求交点 判别可见性点 位于平面上，在前 ，点位于MN上，在后 ，故k 1 为不可见。k2 11 (2 ) X( )k21k 21 例2 求求铅铅铅铅垂垂线线线线EFEF与一般位置平面与一般位置平面ABCABC的交点并判的交点并判别别别别其可其可见见见见性。性。2.2 2.2 一般位置平面与一般位置平面与
7、特殊位置特殊位置平面相交平面相交求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投 影有积聚性，交线可直接求出。1.求交线2.判断平面的可见性1. 1. 求交线求交线MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmm l n bacc a b fkf k 2. 2. 判断平面的可见性判断平面的可见性2. 2. 判断平面的可见性判断平面的可见性abc defcfdb e a m (n )例3 求两平面的交线 MN并判别可见性。 空间及投影分析： 求交线 判别可见性从正面投影上可看出，在 交线左侧，平面ABC在上 ，其水平投影可见。mn平面ABC与DEF都为 正垂面，它们的交线
8、为一 条正垂线，两平面正面投 影的交点即为交线的正面 投影，交线的水平投影垂 直于OX轴。还可通过重影点 判别可见性a abd(e)ebdh(f)cfchm n空间及投影分析： 平面DEFH是一铅垂面， 它的水平投影有积聚性，其 与ac、bc的交点m 、 n 即为两个共有点的水平 投影，故mn即为交线MN 的水平投影。 求交线 判别可见性点 在MC上，点在FH上 ，点 在前，点在后，故 m c 可见。作图X211(2)m n bcd efabacdef投影分析N点的水平投影n位于 def 的外面，说明点 N位于DEF所确定的平 面内，但不位于DEF 这个图形内。 所以ABC和DEF的 交线应为
9、MK。mkk nn 求交线 判别可见性作图m DEF的正面投影积聚2.3 2.3 直线与一般直线与一般位置位置平面相交平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图12QV21kk 步骤：1过过EF作 正垂平面Q。2求Q平面 与ABC的交 线线。3求交线线 与EF的交点 K。示意图以正垂面为辅助平面求直线EF与ABC平面的交点ABCQ过过EF作正垂面 QEF以正垂面为辅为辅 助平面求线线面交点 示意图图2PH1步骤：1过过EF作 铅铅垂平面P。2求P平面 与ABC的交 线线。3求交线线 与EF的交点 K。k k2示意 图以铅垂面为辅助平面求直
10、线EF与ABC平面的交点1过过EF作铅铅垂面P以铅铅垂面为辅为辅 助平面求线线面交点 示意图图FCABPEFKEfe e直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。利 用 重 影 点 判 别别 可 见见 性1243（ ）kk ( 3 )4示意图( )212.4 2.4 两一般位置平面相交两一般位置平面相交求两平面交线的问题可以看作是求 两个共有点的问题, 因而可利用求一般 位置线面交点的方法找出交线上的两个 点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线线判别别可见见性两一般位置平 面相交，求交 线线步骤骤：1用求直 线线与平面交点 的方法，作出 两平面的两个 共有点K、E 。llnmmn
11、PVQV 1 221k kee2连连接两个 共有点，画出 交线线KE。示意图例例4 4 求两平面的交线两一般位置平面相交求交线线的方法 示意图图利用求一般位置线线 面交点的方法找出交 线线上的两个点，将其 连线连线 即为为两平面的交 线线。MBCAFKNL利 用 重 影 点 判 别别 可 见见 性两平面相交，判别可见性3 4 ( )3 4 21( )1 22.5 2.5 综合性问题解法综合性问题解法试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与 直线EF相交 。综合性问题 解法 综合性问题 解法 综合性问题 解法 例例5 5过过已知点K作平面P平行于 ABC；直线线EF与平面P交于H；连连接KH，
12、KH即为为所求。FPEKH分析分析m n h hnmPV 1 12 21过过点K作平面KMN/ ABC平面。2求直线线EF与平 面KMN的交点H 。 3连连接KH，KH即 为为所求。作图作图 直线与平面垂直 两平面互相垂直3 垂直问题3.1 3.1 直线与平面垂直直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：若一直线线垂直于一平面，则则必垂直于属于该该平面的一切直线线。定理1：若一直线线垂直于一平面、则则直线线的水平投影必垂直于属于该该平面的水平线线的水平投影； 直线线的正面投影必垂直于属于该该平面的正平线线的正面投 影。VPAKLDCBEHa ad c b dcbe eknk n XO定理2：
13、若一直线线垂直于属于平面的水平线线的水平投影；直线线（逆） 的正面投影垂直于属于平面的正平线线的正面投影 、则则直线线必垂直于该该平面。a cac n nkf d b dbfk VPAKLDCBEHXOa cac nn mf d b dbfm 例例6 6 平面由平面由 BDFBDF给给定，定，试过试过 定点定点MM作平面作平面的垂的垂线线。h hh hh h kk SVk kPVk kQH例例7 7 试过试过 定点定点KK作特殊位置平面的法作特殊位置平面的法线线。e f em nmnc a ad b cdbfXO例例8 8 平面由两平行平面由两平行线线ABAB、CDCD给给定，定，试试判断直判
14、断直线线 MNMN是否垂直于定平面。是否垂直于定平面。几何条件：若一直线线垂直于一定平面，则则包含这这条直线线的所有平面都垂直于该该平面。PAB3.2 3.2 两平面垂直两平面垂直反之，两平面相互垂直，则则由属于第一个平面的任意一点 向第二个平面作的垂线线必属于第一个平面。AB两平面垂直两平面不垂直ABg ha cach kk f d b dbfgXO例例9 9平面由平面由 BDFBDF给给给给定，定，试过试过试过试过 定点定点KK作已知平面的垂作已知平面的垂面面g h a chackk b bgf fd d结论：两平面不垂直XO例例1010 试试试试判断判断 A ABCBC与相交两直与相交两直线线线线KGKG和和KHKH所所给给给给定定的平面的平面是否垂直。是否垂直。4.1 空间几何元素定位问题4.2 空间几何元素度量问题4 4 综合问题分析及解法综合问题分析及解法4.3 综合问题解题举例4.1 4.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题c g h e f d cefghdXO例例1111 已知三条直已知三条直线线CDCD、EFEF和和GHGH，求作一直，求作一直线线 ABA
