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1、 专题一专题二专题三专题四专题五专题一 概率与频率关系的应用 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近 概率,在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.频率 本身是随机的,而概率是一个确定的数,是客观存在的,因此概率与 每次试验无关.专题一专题二应用某射击运动员为2016年里约热内卢奥运会做准备,在相同条 件下进行射击训练,结果如下:(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少? (2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多 少? (3)假设该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么 第10次一定击中靶心吗? 解:(1)由题意知击中
2、靶心的频率在0.9左右摆动,故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为3000.9=270(次). (3)不一定.专题三专题四专题五专题一专题二专题二 互斥事件与对立事件问题 (1)利用基本概念:互斥事件不可能同时发生;对立事件是互 斥事件,且必须有一个要发生. (2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组成的集合 分别是A,B,全集为I.事件A与B互斥,即集合AB=;事件A与B 对立,即集合AB=,且AB=I,也即A=IB或B=IA. (3)对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事 件间的关系. (4)如果A1,A2,An中任何两个都是互斥事件,那么我们就说 A1,
3、A2,An彼此互斥.专题三专题四专题五专题一专题二(5)若事件A1,A2,A3,An彼此互斥,则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An). 应用互斥事件的概率加法公式解题时,一定要注意首先确定各个 事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.对于 较复杂事件的概率,可以转化为求其对立事件的概率. (6)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼 此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式 P(A)=1-P( )求解.专题三专题四专题五专题一专题二应用1从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个 球中至少有1个白球的概率是(
4、 )解析:设3个红球分别为红1,红2,红3,2个白球分别为白1,白2,则从装 有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的取法有(红1,红2,红3),(红1, 红2,白1),(红1,红2,白2),(红1,红3,白1),(红1,红3,白2),(红1,白1,白2),(红2,红3,白1),(红2,红3,白2),(红2,白1,白2),(红3,白1,白2),共10种,其中不含白球 的只有(红1,红2,红3)1种,所以不含白球的概率为 ,所以至少有1个白球的概率为答案:D 专题三专题四专题五专题一专题二应用2从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的点数为110,各 10张)中任取1张.判断下列给出的每对事件是否
5、为互斥事件,是否为 对立事件,并说明理由. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”. 解:(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是: 从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可 能同时发生的,所以是互斥事件.同时,也不能保证其中必有一个发 生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此二者不是对立事 件.专题三专题四专题五专题一专题二(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由是: 从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两 个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,
6、因此它们既是互斥 事件,又是对立事件. (3)不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.理由是:从40张扑克 牌中任意抽取1张,“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大 于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,这二者不是 互斥事件,当然也不可能是对立事件.专题三专题四专题五专题一专题二应用3在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内 的概率如下表:解:记该河流某处的年最高水位在 8,10),10,12),12,14),14,16),16,18)(单位:m)分别为事件A,B,C,D,E, 它们彼此互斥. (1)P(BCD)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+
7、0.16=0.82. (2)P(AB)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38. (3)P(DE)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24. 所以年最高水位在10,16)(m),8,12)(m),14,18)(m)的概率分别为 0.82,0.38,0.24.专题三专题四专题五专题一专题二专题三 古典概型问题 古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基 础.在高考题中,经常出现此种概率模型的题目,解题时要紧紧抓住 古典概型的两个基本特点,即有限性和等可能性.另外,在求古典概 型的概率时,往往需要把所有基本事件一一列举出来,以便确定基 本事件总数及所求事件所包含的基
8、本事件数.这就是我们常说的列 举法.在列举时应注意按一定的规律、标准,不重不漏地列举.专题三专题四专题五专题一专题二应用1如图,a,b,c,d,e是处于断开状态的开关,任意闭合两个,则电 路被接通的概率是 . 解析:“任意闭合两个开关”所包含的基本事件有:闭合 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共有10个,“电路被接通”包含6个基本 事件(闭合ad,ae,bd,be,cd,ce),所以电路被接通的概率专题三专题四专题五专题一专题二应用2一个均匀的正四面体各面上分别涂有1,2,3,4四个数字,现 在随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为b,c. (1)记z=(b-3)
9、2+(c-3)2,求z=4的概率; (2)若方程x2-bx-c=0至少有一个根x1,2,3,4,就称该方程为“漂 亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率. 解:(1)因为是投掷两次,所以基本事件有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),共有16个基本事件. 当z=4时,所包含的基本事件有(1,3),(3,1),共有2个基本事件.专题三专题四专题五专题一专题二(2)若方程有一根为x=1,则1-b-c=0,即b+c=1,不成立. 综合知,该方程为
10、“漂亮方程”时,(b,c)的所有可能取值为 (1,2),(2,3),(3,4), 所以“漂亮方程”共有3个,方程为“漂亮方程”的概率为P= .专题三专题四专题五专题一专题二专题四 几何概型问题 若试验同时具有基本事件个数的无限性和每个事件发生的等可 能性两个特征,则此试验为几何概型,由于基本事件个数的无限性, 其概率就不能应用P(A)= 求解,因此需转化为几何度量(如长度、 面积、体积等)的比值求解. 几何概型是新增内容,在高考中很少考查随机模拟,主要涉及几 何概型的概率求解问题,难度不会太大,题型可能较灵活,涉及面可 能较广.几何概型的三种类型分别为长度型、面积型和体积型,在 解题时要准确把
11、握,要把实际问题作合理的转化;要注意古典概型 和几何概型的区别,正确地选用几何概型解题.专题三专题四专题五专题一专题二应用1节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯 的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4 s内任一时刻等可能发 生,然后每串彩灯以4 s为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它 们第一次闪亮的时刻相差不超过2 s的概率是( )专题三专题四专题五专题一专题二解析:设两串彩灯同时通电后,第一次闪亮的时刻分别为x,y,则 0x4,0y4,而事件A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 s”, 即|x-y|2,其表示的区域为如图所示的阴影部分. 由几何概型概率公式,得答案:C 专
12、题三专题四专题五专题一专题二应用2如图,四边形ABCD为矩形,AB= ,BC=1,以A为圆心,1为半 径作四分之一个圆弧DE,在圆弧DE上任取一点M,则直线AM与线 段BC有公共点的概率是 . 专题三专题四专题五专题一专题二专题五 概率与统计的综合问题 概率与统计相结合,是新课标数学高考试题的一个亮点,其中所 涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概率是古典概型,虽然是综 合题,但是难度不大,属于中档以下难度.专题三专题四专题五专题一专题二应用某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周 末时间进行了一次社会实践活动,且每个小组有5名同学,在实践活 动结束后,学校团委会对该班的所有同学都进行
13、了测评,该班的A,B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示,其中B组 一同学的分数已被污损,但知道B组学生的平均分比A组学生的平 均分高1分.(1)若在B组学生中随机挑选1人,求其得分超过85分的概率; (2)现从A组这5名学生中随机抽取2名同学,设其分数分别为m,n, 求|m-n|8的概率.专题三专题四专题五专题一专题二B组学生的分数分别为93,91,88,83,75,其中有3人的分数超过85 分, 在B组学生中随机选1人,其所得分超过85分的概率为 . (2)A组学生的分数分别是94,88,86,80,77, 在A组学生中随机抽取2名同学,其分数组成的基本事件(m,n)有 (94,88),(94,86),(94,80),(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77), (80,77),共10个, 随机抽取2名同学的分数m,n满足|m-n|8的基本事件有 (94,88),(94,86),(88,86),(88,80),(86,80),(80,77),共6个.专题三专题四专题五
