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1、第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解定态薛定谔方程为：11.9 氢原子的薛定谔方程的解1、 氢原子的定态薛定谔方程氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电 子绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了 计算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解在球坐标系下：在球坐标系下的薛定谔方程：此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程 求解，即设 代入上式得：第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解方程（1）的解为方程（2）的解为由标准化条件决定：l=0,1,2, , 同时限定给定一 l ml只能取下列2
2、l+1第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解是连带的勒让德函数 角度部 分的解：方程（3）的解为其中：Nnl为归一化常数， 为一常数，为缔合勒盖尔多项式。同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n个值：l=0,1,2,n-1氢原子的波函数：第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解讨论n、l、ml 参数的物理意义为主量子数或称能量量子数。（1）能量量子化 在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，E只能取 一些分立的负值，即：能级公式n=1的能级称为基态能级n1的能级称为激发态能级,取值如下：第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解如图所示，n增大时 ， 能级间隔减小；n 很大时间隔非
3、常小， 可看成连续变化。126 534氢原子能级图-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eVEnl主量子数 n第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解（2）角动量量子化方程（2）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动 量是量子化的，其大小为：其中：l 称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数的空间对称性。说明：1、L只能取由l 决定的一系列分立值，即量子化。2、不同的 n 值，只要 l=0，则L=03、对于同一n值，l 不同时，L有不同的值。所以氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能确切地表征。一般s、p、d、f、g等字母表示 l=0,1,2, ，显然，对于s 态的电子来
4、说，其动量矩L=0.第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解（3）角动量的空间取向量子化方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的角动 量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，Lz 表示L在外场方向投影大小，则这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l， ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆周 轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取 有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设。第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的 情形
5、ml=Lz/h1-100011-1-1-2-2223-3第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解（4）电子自旋电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在 相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非 相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。KBNSPK原子射线；B狭缝； NS磁场；P照相板结果：无外场时，P上沉积一条正对B的痕迹；有外场时，出现几条不连续的线状痕迹。此实验最初用s态银原子进行 ，原子射线分裂为二条，且 二者偏转上下对称。 因 s态原 子l=0本身无动量矩和磁矩。第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解1925年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除 绕核的磁矩外，还
6、有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。 量子力学的计算：自旋动量矩S为自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影Sz 只能有如下两种取值：第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解确定氢原子的状态的四个量子数主量子数 决定电子的能量。角量子数 决定电子轨道角动量磁量子数 决定轨道角动量 的空间取向，自旋磁量子数 决定自旋角动量的空 间取向， 。为正时，称为自旋向上。为负时，称为自旋向下。第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解1. 能量量子化 能量n = 1 ，2 ，3 ， （主量子数） 电子云电子在这些地方出现的概率最大电子云密度 概率密度|2玻尔氢原子理论中，电子的轨道位置 u 重要结论第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解2. 角动量量子化 l = 0 ，1 ，2 ， , n-1 角量子数(副量子数) 3. 角动量空间量子化 电子绕核转动的角动量 L 的大小角动量 L 的在外磁场方向Z 的投影ml = 0 , 1 , 2 , , l （磁量子数） r 讨论: l = 0, L = 0 ?r 讨论: 如何观察 ? 磁场 - 能量、 力z第十一章 量子物理氢原子薛定谔方程的解磁量子数 ml = 0 , 1 , 2L 在 Z 方向的投影 zL 的大小例 求 l = 2 电子角动量的大小及空间取向 ？z若: l =1,则解
