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1、第十章 二阶线性偏微分方程的 分类本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的. 10.1 基本概念(1) 偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如其中是未知多元函数，而是未知变变量； 为为的偏导导数. 有时为时为 了书书写方便，通常记(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为
2、线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项例如 ： 方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程 的通解为其中是两个独立的任意函数因为为方程为为二阶的，所以是两个任意的函数若给函数 指定为 特殊的 ，则得到的解称为方程的特解n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数10.2 数学物理方程的分类在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程这三类方程描写
3、了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中 为常数，且设 则则当时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为（10.2.1） 其中 为的已知函数 定理10.2.1 如果 是方程(10.2.2)的一般积分，则 是方程(10.2.3)的一个特解在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式
4、1. 当判别式 以求得两个实函数解 时，从方程(10.2.10)可也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线于是，令即可使得 同时，根据(10.2.4)式，就可以断定 所以，方程(10.2.6) 即为 (10.2.4)或者进一步作变换于是有所以又可以进一步将方程(10.2.11)化为这种类型的方程称为双曲型方程我们前面建立的波动方程就属于此类型2当判别式 时：这时方程(10.2.10)一定有重根因而只能求得一个解，例如， ，特征线为 一条实特征线作变换 就可以使 由(10.2.4)式可以得出，一定有 ，故可推出 这样就可以任意选取另一个变换， 只要它和 彼此独立，即雅可俾式即可这样，
5、方程(10.2.6)就化为此类方程称为抛物型方程热传导（扩散）方程就属于这种类型3. 当判别式 面的讨论，只不过得到的 时：这时，可以重复上和 是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是一对共轭复函数族于是是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量于是所以方程(10.2.11)又可以进一步化为这种类型的方程称为椭圆型方程拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式 即可. 10.3 二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程 (10.3.1)若判别
6、式为 ，则二阶线性偏微分方程分为三类：时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型; 1.双曲型偏微分方程因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，设特征方程的解为 令 (10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式(10.3.3)上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量代换，令或 则偏微分方程又变为(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式 注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 与是两个不同的函数。 2抛物型偏微分方程因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线 ，所以特征曲其特征方程的解为(10.3
7、.5)因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)上式称为抛物型偏微分方程的标准形式3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式 ，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其特征方程的解为(10.3.7)若令 (10.3.8) 作自变量变换，则偏微分方程变为(10.3.9)上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步 化简如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简注：上式中用小写字母代表常系数，以便与我们们不妨令 大写字母代表某函数
8、区别开来, 例如为了化简，从而有(10.4.2)其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简 (10.4.3) 式中 均为常系数若令则有(10.4.4)(10.4.5)其中 对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）（10.4.6） 还可以进一步化简上式中小写字母 均为常系数 为了化简，不妨令 从而有(10.4.7)2.抛物型3.椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数) (10.4.8)还可以进一步进行化简上式中小写字母的 为常系数为了化简，不妨令 从而有 (10.4.9)其中 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：其中 L
9、是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数线性偏微分算符有以下两个基本特征： 10.5 线性偏微分方程解的特征其中 均为常数进一步有如下结论： 1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：为为方程的解时时，则则也为为方程的解；(1).当为为方程的解，则则也是方程的解；(2)若2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：为为非齐齐次方程的特解，为齐为齐 次方程的通解，则则为为非齐齐次方程的通解；(1)若(2) 若 则3线性偏微分方程的叠加原理需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠 加原理，即若是方程（其中 L 是二阶线阶线 性偏微分算符）的解.如果级级数 收敛，且二阶偏导数存在（其中 为
10、任意常数），则 一定是方程 的解 程右端的级数是收敛的）（当然要假定这个方GS)iKc!W-wgr%!niQUvRQu!9d8(Oub&TQX8IruVCMhkY&G#VtRYQv0z%kM8Ji30eLsy%S2V4#ij*kpeXlJ#2dpF#kZHGY4c&jcGA#JUk6cy+Lxpmkha)LdCKz2g4ywDFam7EPGhO+bhjkmsF!p1&q!4#ieLG)R%sdhB+#8ktAKX7B7!$dVOrJuQBRqqNmde%x%iF!fH7Q&Mbm9EE7nWYySOqS*AL*jL3sNIFO2HyLdo+d!2JIC#%NjL%tomkf6K2GqrO89S
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