现代控制工程基础-讲稿-2-1

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1、2、线性系统理论线性系统理论是现代控制理论的基础。线性系统的定义：若一个系统L，对一个输入ui产生的对应输出为L(ui)，且对n个任意输入ui(i=1,2,n)，系统L的输出满足：(1) 均匀性：L(au)=aL(u)，即输入信号倍增引起输出信号的相同倍增；(2) 迭加型：L(a1u1+anun)=a1L(u1)+anL(un)其中的a、ai(i=1,2,n)为常数。则系统L是线性系统。现 代 控 制 工 程 基 础2.1 状态空间分析法线性系统的运动在时域内一般是用微分方程描述。经典控制理论采用拉普拉斯变换将其表示为反映外部信息（输入、输出）关系的传递函数，并以这个传递函数为基础建立了系统的

2、图解分析设计法。现代控制理论将微分方程表示成反映系统内部状态和外部信息关系的状态空间表达式，并以这表达式为基础建立了一套解析的分析设计方法。这种基于系统内部状态量的系统描述及其分析设计的方法，就是状态空间分析法，也称为状态变量法。现 代 控 制 工 程 基 础2.1.1 基本概念和问题有一个力学系统，F(t)是作用于质量为m的小车上的力，有现 代 控 制 工 程 基 础mF(t)x(t) v(t)光滑平面可见，任意时刻tt0的小车速度v(t)和位移x(t)由力F(t)和小车的初始速度v(t0)、初始位移x(t0)决定。显然，速度和位移是描述小车运动状态的参数。因此，若已知描述系统运动状态的变量

3、初始值和输入，就可完全确定系统在任意时刻的运动状态，这类系统就称为动力学系统。状态变量：描述系统运动状态所需独立变量的最少组合。每一 变量都表示系统运动状态的一种特征，这单个变量往往也称为 状态变量。状态变量的二个重要方面： (1)系统运动状态是由一组独立（或数目最少）状态变量确定的。这一组独立状态变量的数目是确定唯一的，表示系统的维数。一个由n阶微分方程描述的系统，就有n个独立的状态变量。或者说这n个状态变量是完全能描述系统运动状态必需的。若变量数目多于n，则必有变量不独立；若变量少于n，则不能完全描述系统的运动状态。 现 代 控 制 工 程 基 础(2)系统状态变量的选取不是唯一的，一般选

4、取易于测量和控制的物理变量作为状态变量。但是，选取易于测量和控制的物理变量为状态变量时，往往使系统的状态方程求解困难。选取相变量可使系统状态方程易于数学实现；选取没有物理意义的正则变量，可使系统状态方程易于求解，此时可通过解的代数变换获得感兴趣的系统变量。相变量：某个系统变量及其各阶导数构成系统的一组相变量。经常使用的系统变量是系统的输出量。相变量一般不具有系统的物理意义，即不是系统的物理变量。正则变量：在邻域内处处可导（或无穷可微）的变量，或在邻域内可表示成收敛幂级数的变量，也称为解析变量。现 代 控 制 工 程 基 础现 代 控 制 工 程 基 础状态向量和状态空间：由反映系统运动状态的最

5、少一组状态变量构成的向量称为状态向量，以状态变量为坐标轴所构成的空间称为状态空间输出量：系统在输入作用下的响应输出称为输出量状态方程：由系统状态变量和输入量构成的一阶微分方程组一般表示为输出方程：表示系统输出量与状态变量和输入变量的函数关系式一般表示为状态空间表达式：系统的状态方程与输出方程的组合。也称为系统的动态 方程对于线性系统，其状态方程和输出方程一般可以表示为式中： ARnn由系统自身结构确定的参数矩阵，称为系统矩阵或状态矩阵BRnr称为输入矩阵或控制矩阵CRmn称为输出矩阵DRmr称为直接转移矩阵现 代 控 制 工 程 基 础线性定常系统的状态空间表达式取决于矩阵A、B、C、D。因此

6、，也称线性定常系统为系统(A,B,C,D)。例题1：下图所示是一个机械系统，试建立其状态空间表达式(1)取状态变量x1=x(t), x2=v(t), 输出为x(t), 输入为u=F(t)现 代 控 制 工 程 基 础mF(t)x(t) v(t)光滑平面(2)取状态变量x1=2x(t)+v(t), x2=x(t)+v(t), 输出为x(t), 输入为u=F(t)例题2：下图所示是R-L-C线性网络电路，试建立其状态空间表达式+ _uRCLiuc根据电路原理，很容易建立这个电路系统的微分方程或(1)取状态变量x1=uc, x2=i, 输出为uc现 代 控 制 工 程 基 础模拟结构图(2)取状态变

7、量x1=uc, x2=duc/dt, 输出为uc现 代 控 制 工 程 基 础模拟结构图例题3：下图所示是场控式控制直流电机原理图，试建立其状态空间表达式主要参数：ea电枢电压，Ra电枢电阻，气隙磁通，eb反电势， Kb反电势常数，Ki转矩常数，ia电枢电流，if励磁电流，Rf励 磁绕组电阻，Lf励磁绕组电感，ef磁场电压，Tm电机产生的转矩， Jm电机的转子惯量，Bm粘性系数，m转子角位移现 代 控 制 工 程 基 础控制直流电机的励磁一般采用他激方式（直流电机还有串激和并激方式,但线性度不好），且要求有高的转矩/惯量比。他激方式又分为“场控”和“枢控”，永磁式直流电机只能是“枢控”式的。i

8、fiaMefRf Lf+_Jm, BmTm, m, wmea从线性关系来考虑，场控式直流电机可以认为： (1)电枢电流ia=常数。令ia=Ia(2)气隙磁通与励磁电流if成正比=Kfif(3) 转矩Tm与和ia的乘积成正比Tm= Km ia (Km是比例常数)若令Ki=KmKfIa为转矩常数，则有Tm= Ki if 现 代 控 制 工 程 基 础选取if、wm、m为系统的状态变量，有现 代 控 制 工 程 基 础例题4：下图所示是枢控式控制直流电机原理图，试建立其状态空间表达式主要参数：ea电枢控制电压，Ra电枢电阻，气隙磁通，eb反电 势，Kb反电势常数，Ki转矩常数，ia电枢电流，if磁场

9、电流(常数) ，La电枢绕组电感，ef磁场电压，Tm电机产生的转矩，Jm电机 的转子惯量，Bm粘性系数，m转子角位移iaifMeaRaLa+_Jm, Bm, Tm,mefeb为了获得线性运行特性，磁场电流必须恒定。若是永磁式，则气隙磁通也是常数。对于枢控式直流电机可以认为：(1)转矩与电枢电流成正比，即 Tm= Ki ia; (2)反电势与转速成正比，即Tm= Kbwm于是，选取ia、wm、m为系统的状态变量时，有现 代 控 制 工 程 基 础现 代 控 制 工 程 基 础例题5：下图所示是相感应电机原理图，试建立其状态空间表达式e1e2两相感应电机的定子上布置有两个相位相差900的励磁绕组。

10、作控制用时，从恒压源给其中一相绕组e1施加恒值电压作为参考相；另一绕组e2施加一个相位或/和幅值相对于参考电压可变的电压。其转矩与转速的关系可以近似地认为是线性关系，即有TmwmT0w0e20=e1=额定电压e2+e2-e2+e0e2-T0堵转转矩；w0空载转速0现 代 控 制 工 程 基 础例题6：下图所示是枢控式直流电机驱动下的张力控制系统原理图 ，试建立其状态空间表达式。iaMeaRaLa+_wweb Tm,m,wmvwF(张力)vsr齿轮箱Jwh卷物厚度n齿轮箱传动比现 代 控 制 工 程 基 础2.1.2 状态空间表达式的实现将描述系统输入/输出关系的微分方程或传递函数转换成状态空间

11、表达式，这样的问题称为状态空间表达式的实现问题。对于系统的高阶微分方程（mn）或/和传递函数（矩阵） 若存在定常矩阵A、B、C、D，满足G(s)=C(sI-A)-1B+D，则由 定常矩阵A、B、C、D决定的线性定常系统(A,B,C,D)就称为一个状态空间实现，简称实现。现 代 控 制 工 程 基 础对于状态空间实现，首先的问题是实现的物理条件是什么？ 直接的结论是： 定理：传递函数矩阵G(s)能状态空间实现的充分必要条件是传递函数矩阵G(s)中各元的分子多项式阶数不高于分母多项式阶数，且分子、分母多项式的系数均为实常数。 推论：传递函数矩阵G(s)使得D=0的状态空间实现的充分必要条件是G(s

12、) 中各元为严格真有理分式。否则，状态空间实现的D0，且满足注意：系统的微分方程和传递函数主要是由系统本质特性确定的，与状态变量的选取无关。选取不同的状态变量会得出不同的状态空间表达 式，这就是说状态空间实现的结果不是唯一的。但是，若系统的传递函 数中分子与分母没有公因子，则系统所有实现的状态变量个数是一致的 。这种没有分子分母公因子对消的传递函数的实现称为最小实现。现 代 控 制 工 程 基 础（1）将微分方程转换成状态空间表达式和其中的i(i=1,2,n)是待定系数。将此式中的各个y(i)(i=0,1,2,n)代入原微分方程 ，有（mn） 令系统的状态变量为显然，m=n时，D0mn时，D=

13、0现 代 控 制 工 程 基 础例2-1：已知系统的微分方程为求此系统的状态空间表达式。解：对照一般高阶常微分方程，有n=3,a0=1, a1=3, a2=5b0=2, b1=4, b2=0, b3=0则有 0=b3=0, 1=b2-a20=0, 2=b1-a21-a10=4, 3=b0-a22-a11-a0 0=-18所以，系统的状态空间表达式为现 代 控 制 工 程 基 础现 代 控 制 工 程 基 础（2）将传递函数转换成状态空间表达式直接实现方法：基本思路是令现 代 控 制 工 程 基 础串联实现方法： 各子系统（u=y0，y=yn）的一般形式有两种：取状态变量为由此就可获得系统的 状

14、态空间表达式例2-2：已知系统的传递函数为求此系统的状态空间表达式。解：令现 代 控 制 工 程 基 础现 代 控 制 工 程 基 础并联实现方法： 取状态变量为状态方程输出方程应当指出：（1）对于单输入单输出系统，m=n时的D0，mn时的D=0（2）传递函数无重极点时，状态方程的系统矩阵是对角矩阵；当传递函数有重极点或复数极点时，其系统矩阵是约当矩阵或约当分块矩阵例2-3：已知系统的传递函数为求此系统的状态空间表达式。解：令现 代 控 制 工 程 基 础现 代 控 制 工 程 基 础2.1.3 系统的传递矩阵与解耦控制（一） 传递函数矩阵 对于多输入多输出线性系统的状态空间表达式当系统的初始

15、条件为零时，拉普拉斯变换可得传递矩阵传递矩阵G(s)表示输出向量Y(s)与输入向量u(s)之间的关系，它的每一个元素gij(s)表示第j个输入uj(s)对第i个输出yi(s)的影响关系。在一般情况下，多输入多输出系统的每一个输出yi(s)是对所有（或多个）输入的响应的综合，即系统的每一个输出均受到多个（或全部）输入量的控制。这种系统常称为耦合控制系统或耦合系统。现 代 控 制 工 程 基 础应当指出：同一个系统的状态空间表达式可因状态变量的选取不同而不同，但是其传递矩阵是唯一的。实际上，系统的不同状态变量之间存在非奇异变换关系，选取不同的状态变量在数学上就是对状态变量的一种非奇异变换。这说明：

16、满秩变换不改变系统的传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)=C(sI-A)-1B+D中，(sI-A)-1称为系统矩阵A的预解矩阵，且有：定义1：det(sI-A)=0称为线性系统的特征方程，其根称为矩阵A的特征根，也称为系统的极点。传递函数矩阵G(s)中各元素的最小公分母的零点称为传递函数矩阵的极点。现 代 控 制 工 程 基 础定义2：对于定常线性系统(A,B,C,D)，满足的s为系统的输入解耦零点；满足的s为系统的输出解耦零点；满足的s为系统的传输零点。现 代 控 制 工 程 基 础（二）子系统在各种联结下的传递函数矩阵实际系统往往可以看成是由多个子系统组合而成的，这些子系统或并联，或串联或成反 馈联结。设某一系统由两个子系统组成，这两个子系统分别为子系统I：