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1、第二章第二章 n n维向量维向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 一一. . n n维向量的概念维向量的概念 2.22.2 2.32.3 2.42.4 2.5 2.5 2.6 2.6 n n 维维 向向 量量本本 质质 表现形式表现形式 几何背景几何背景 n n个数个数a a1 1, , a a2 2, , , , a an n 构成的有序数组构成的有序数组向量向量/ /点的坐标点的坐标 列矩阵列矩阵 行矩阵行矩阵 行向量行向量 列向量列向量 分量分量 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 与矩阵的线性运算相同与矩阵的线性
2、运算相同 二二. . n n维向量的线性运算维向量的线性运算 与矩阵的线性运算性质相同与矩阵的线性运算性质相同 三三. . n n维向量的线性运算性质维向量的线性运算性质 n n维向量维向量: : 1 1, , 2 2, , , , s s四四. . 线性组合和线性表示线性组合和线性表示 常数常数: : k k1 1, , k k2 2, , , , k ks s线性组合线性组合: : k k1 1 1 1+ +k k2 2 2 2+k ks s s s2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 = = k k1 1 1 1+ +k k2 2 2 2+k ks s s sn n维向量维
3、向量: : , , 1 1, , 2 2, , , , s s若存在常数若存在常数: : k k1 1, , k k2 2, , , , k ks s使得使得 则称则称 能由向量组能由向量组 1 1, , 2 2, , , , s s线性表示线性表示. . 或称或称 能由向量组能由向量组 1 1, , 2 2, , , , s s生成生成. . 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 例例1 1. . n n维基本单位向量组维基本单位向量组 1 1= = 1 1 0 00 0 , , 2 2= = 0 0 1 10 0 , , n n= = 0
4、 0 0 01 1 . . , , 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 任何一个任何一个n n维向量维向量 = = a a1 1 a a2 2a an n 都能由都能由 1 1, , 2 2, , , , n n线性表示线性表示. . = = a a1 11 1 0 00 0 + + a a2 20 0 1 10 0 + + + + a an n0 0 0 01 1 . . 事实上事实上, , 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 例例2 2. . A A = = a a1111a a12
5、12 a a1 1s sa a2121a a2222 a a2 2s s a an n1 1 a an n2 2 a ansns= (= ( 1 1, , 2 2, , , , s s), ), = = b b1 1 b b2 2b bn n , , x x = = x x1 1 x x2 2x xs s , , 能由能由 1 1, , 2 2, , , , s s线性表示线性表示 方程组方程组AxAx = = 有解有解. . 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 一一.
6、 . 基本概念基本概念 列向量列向量: : 1 1, , 2 2, , , , s s矩阵矩阵A A = ( = ( 1 1, , 2 2, , , , s s) ) 矩阵矩阵A A的秩的秩 向量组向量组 1 1, , 2 2, , , , s s的的秩秩 r(r( 1 1, , 2 2, , , , s s) ) 第二章第二章 n n维列向量维列向量 行向量行向量: : 1 1, , 2 2, , , , s s矩阵矩阵A A的秩的秩 向量组向量组 1 1, , 2 2, , , , s s的的秩秩 矩阵矩阵A A = = 1 1 2 2 s s r(r( 1 1, , 2 2, , , ,
7、 s s) ) 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 r( r( 1 1, , 2 2, , , , s s) ) s s r( r( 1 1, , 2 2, , , , s s) ) n n时时, , 任意任意s s个个n n维向量都线性相关维向量都线性相关. . 例例3 3. . 设设 1 1, , 2 2, , 3 3线性无关线性无关, , 1 1= = 1 1+ 2 + 2 2 2, , 2 2= = 2 2+ 2 + 2 3 3, , 3 3= = 3 3+ 2 + 2 1 1. . 证明证明: : 1 1, , 2 2,
8、 , 3 3线性无关线性无关. . (3) (3) 含有零向量含有零向量的向量组一定的向量组一定线性相关线性相关. . 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 二二. . 向量组秩的性质向量组秩的性质 I: I: 1 1, , 2 2, , , , r rII: II: 1 1, , 2 2, , , , s s 若若IIII组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由I I组中的向量组中的向量 线性表示线性表示, , 则称向量组则称向量组IIII能由向量组能由向量组I I线性线性 表示表示. .若向量组若向量组IIII能由向量组能由向量
9、组I I线性表示线性表示; ; 同时同时 向量组向量组I I能由向量组能由向量组IIII线性表示线性表示, , 则称这则称这 两个向量组两个向量组等价等价. .给定两个向量组给定两个向量组 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 例例4 4. . 设有两个向量组设有两个向量组 I: I: 1 1=1, 1, =1, 1, 2 2=1, =1, 1, 1, 3 3=2, 1, =2, 1, II: II: 1 1= 1, 0, = 1, 0, 2 2= 1, 2. = 1, 2. 即即I I可以由可以由IIII线性表示线性表示. . 则
10、则 1 1= = 1 1+ + 2 2, , 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2= = 1 1 2 2, , 2 2 3 3 2 2 1 1 3 3= = 1 1+ + 2 2, , 2 2 3 3 2 2 1 1 即即IIII可以由可以由I I线性表示线性表示. . 1 1= = 1 1+ + 2 2+0+0 3 3, , 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2= = 1 1 2 2+0+0 3 3, , 2 2 3 3 2 2 1 1 故向量组故向量组I I与与IIII等价等价. . 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2
11、.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 简记为简记为A A : : 1 1, , 2 2, , , , s s, , C C : : 1 1, , 2 2, , , , n n. .若若 j j= = b b1 1j j 1 1 + + b b2 2j j 2 2 + + + + b bsj sj s s , , j j = =1 1, ,2 2,n n, , 即即 = = 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 s s第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 简记为简记为B B: : 1 1, ,
12、2 2, , , , s s, , C C : : 1 1, , 2 2, , , , mm. .若若 i i= = a ai i1 1 1 1 + + a ai i2 2 2 2 + + + + a ais is s s, , i i = =1 1, ,2 2,mm, , 即即 B B: :C C: := = 1 1 2 2 s s 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 矩阵的乘积矩阵的乘积C Cmm n n = = A Amm s s B Bs s n n, ,= =行向量行向量 i i= = a ai i1 1 1 1
13、 + + a ai i2 2 2 2 + + + + a ais is s s, , i i = =1 1, , 2 2, , mm. .列向量列向量 j j= = b b1 1j j 1 1 + + b b2 2j j 2 2 + + + + b bsj sj s s , , j j = =1 1, , 2 2, , , , n n, ,向量组的线性表示向量组的线性表示: :第二章第二章 n n维列向量维列向量 定理定理2.12.1. . 若若向量组向量组 1 1, , 2 2, , , , t t可由向量组可由向量组 1 1, , 2 2, , , , s s线性表示线性表示, , 则则r(r( 1 1, , 2 2, , , , t t) ) r( r( 1 1, , 2 2, , , , s s). ). 推论推论2.12.1. . 若若向量组向量组 1 1, , 2 2, , , , t t可由向量组可由向量组 1 1, , 2 2, , , , s s线性表示线性表示, , 并且并且t t s s, , 则则向量组向量组
