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1、高三数学答案 第 1 页 共 7 页南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.11，2 23 3 455 5 6y x
2、76 23 265 38 9必要不充分 10xy30 11. 12 ，e 13 1423 1e 10 5972二、解答题：15解：（1）由余弦定理及已知条件得，a 2b 2ab4 2 分因为ABC 的面积等于 ，所以 absinC ，即 ab4 4 分312 3解方程组 得 a2，b2 7 分a2 b2 ab 4，ab 4， )（2）由题意，得 sin(BA) sin(BA)4sinAcosA，所以 sinBcosA2sinAcos A当 cosA0 时， A 所以 B 2 6所以 a ，b 10 分当 cosA0 时，得 sinB2sin A，所以 b2a解方程组 得 a ，b 13 分a2
3、 b2 ab 4，b 2a， )所以ABC 的面积 S absinC 14 分1216证：（1）连结 AC1 交 A1C 于点 O，连结 OE，OF因为正三棱柱 ABCA 1B1C1 是正三棱柱，所以 OA1OC因为 F 为 AC 中点，所以 OFAA 1CC 1，OF AA1 CC112 12高三数学答案 第 2 页 共 7 页因为 E 为 BB1 中点，所以 BECC 1，BE CC112所以 OFBE，OFBE所以 BEOF 是平行四边形所以 BFOE 4 分因为 BF 平面 A1EC，OE 平面 A1EC，所以 BF平面 A1EC 7 分（2）因为 ABCB， F 为 AC 中点，所以
4、 BFAC 因为 AA1平面 ABC，BF 平面 ABC，所以 AA1BF 9 分 由（1）知 BFOE 所以 OEAC，OEAA 1而 AC，AA 1 平面 ACC1A1，ACAA 1A， 所以 OE平面 ACC1A1 12 分因为 OE 平面 A1EC，所以平面 A1EC平面 ACC1A1 14 分 17解：（1）由题意得， 4 分解得 9x15所以 x 的取值范围是9 ，15 7 分（2）记“环岛”的整体造价为 y 元则由题意得ya( x2)2 axx2 104 ( x2)2x 215 433 12a11 15 ( x4 x312x 2)1210 4 10 分a11 125 43令 f(
5、x) x4 x312x 2则 f(x) x34x 224x125 43 425由 f(x)0，解得 x0(舍去)或 x10 或 x15 12 分列表如下：x 9 (9，10) 10 (10，15) 15f(x) 0 0f(x) 极小值 所以当 x10，y 取最小值答：当 x10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低 14 分18解：（1）由题意，得 2a 4，即 a22 分因为 c1，所以 b23高三数学答案 第 3 页 共 7 页所以椭圆 C 的标准方程为 1 5 分x24 y23（2）因为 F(1，0) ，B( ， )，所以 P( ， )85 85所以直线 AB 的斜率为 3所以直线 AB
6、的方程为 y (x1) 7 分3解方程组 得点 A 的坐标为(0， ) 9 分3所以直线 PA 的方程为 y x 10 分3（3）当直线 AB 的斜率 k 不存在时，易得 yMyN9当直线 AB 的斜率 k 存在时，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 B(x 2，y 2)所以 1， 1两式相减， 得 0(x2 x1)(x2 x1)4 (y2 y1)(y2 y1)3所以 k PAk(y2 y1)(y2 y1)(x2 x1)(x2 x1) 34所以 kPA 12 分34k所以直线 PA 的方程为 yy 2 (xx 2)34k所以 yM (4x 2)y 2 y 234k 3(x2 4)
7、(x2 1)4y2直线 PB 的方程为 y x，所以 yN 14 分y2x2 4y2x2所以 yMyN 3(x2 4)(x2 1)x2因为 1，所以 4y 123x 2 2 2 2所以 yMyN =9所以 yMyN为定值9 16 分19解：（1）因为 f(x)e x，所以 f(0)1又 f(0)1，所以 yf(x)在 x0 处的切线方程为 yx1 2 分因为 g(x)2axb，所以 g(0)b又 g(0)1，所以 yg(x)在 x0 处的切线方程为 ybx1 所以当 a R 且 b1 时，曲线 yf(x)与 yg(x) 在 x0 处总有相同的切线4 分 （2）当 a1 时，h(x) ，x2 b
8、x 1ex高三数学答案 第 4 页 共 7 页h(x) 7 分 x2 (2 b)x b 1ex (x 1)x (1 b)ex由 h(x)0，得 x1 或 x1b所以当 b0 时，函数 yh( x)的减区间为( ，1b)， (1，)当 b0 时，函数 yh( x)的减区间为( ，)当 b0 时，函数 yh( x)的减区间为( ，1)，(1b，) 10 分（3）当 a0 时，则 (x)f(x)g( x)e xbx1， (x)e xb当 b0 时， (x)0，函数 (x)在 R 上是增函数因为 (0)0，所以 x0 时， (x)0，与函数 f(x)g(x)矛盾 12 分当 b0 时，由 (x)0，得
9、 xlnb， (x)0，得 xlnb，所以函数 (x)在(，lnb)上是减函数，在(lnb，) 上是增函数（）当 0b1 时，lnb 0， (0)0，所以 (lnb)0，与函数 f(x)g( x)矛盾（）当 b1 时，同理 (lnb)0，与函数 f(x)g(x) 矛盾（）当 b1 时，lnb0， 所以函数 (x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数所以 (x) (0)0故 b1 满足题意综上所述，b 的取值的集合为1 16 分20解：（1）设等差数列的公差为 d，则 S66a 115d22，a 12，所以 d 2 分23所以 Sn a n (n 2) 4 分n(n 5)3 23（2）因为
10、数列a n是正项递增等差数列，所以数列 ak 的公比 q1 n要使 q 最小，只需要 k2 最小即可若 k22，则由 a2 ，得 q ，此时 ak an，83 433329/ 所以 k22，同理 k23 6 分若 k24，则由 a44，得 q2，此时 ak 2 n n因为 ak (kn2)，所以 kn32 n1 2 10 分 n23（3）因为 ak (kn2)2q n1 ，所以 kn3q n1 2(q1) n23当 q 不是自然数时，k n不全是正整数，不合题意，所以 q2，qN*.不等式 6Snk n1 有解，即 1 有解2n(n 5) 23 qn经检验，当 q2，3，4 时，n1 都是 1 的解，适合题意 12 分2n(n 5) 23 qn高三数学答案 第 5 页 共 7 页以下证明当 q5 时，不等式 1 恒成立 2n(n 5) 23 qn设 bn 2n(n 5) 23 qn则 bn 1bn n2 7n 73q(n2 5n 1) (1 ) (1 ) 13q 2n 6n2 5n 1 13q 2(n 3)(n 3)2 (n 3) 5 (1 )13q因为 f(n)(n 3) 1 在 nN*上是增函数，5n 3所以 f(1)f(n)
