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1、第 2章,平稳随机过程的谱分析,2017/11/10,2,本章要解决的问题,随机信号是否也可以应用频域分析方法?,傅里叶变换能否应用于随机信号？,相关函数与功率谱的关系,功率谱的应用,采样定理,白噪声的定义,2017/11/10,3,2.1 随机过程的谱分析,一 预备知识,1 付氏变换,设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足,在 范围内满足狄利赫利条件,绝对可积，即,信号的总能量有限，即,有限个极值有限个断点断点为有限值,2017/11/10,4,则 的傅里叶变换为：,其反变换为：,称 为 的频谱密度，也简称为频谱。,包含：振幅谱 相位谱,2017/11/10,5,2 帕塞瓦等式,
2、即,能量谱密度,2017/11/10,6,二 随机过程的功率谱密度,应用截取函数,2017/11/10,7,当x(t)为有限值时， 的傅里叶变换存在,应用帕塞瓦等式,除以2T,取集合平均,2017/11/10,8,令 ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序,功率Q,非负,存在,（1）Q为确定性值，不是随机变量,（2） 为确定性实函数。,2017/11/10,9,两个结论：,1,表示时间平均,若平稳,2,2017/11/10,10,功率谱密度： 描述了随机过程X(t)的 功率在各个不同频率上的分布 称为随机过程X(t)的功率谱密度。,对 在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。,
3、对于平稳随机过程，有：,2017/11/10,11,例：设随机过程 ，其中 皆是实常数， 是服从 上均匀分布的随机变量，求随机过程 的平均功率。,解：,不是宽平稳的,2017/11/10,12,2017/11/10,13,三 功率谱密度与自相关函数之间的关系,确定信号：,1 维纳辛钦定理,若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：,2017/11/10,14,2. 证明：,2017/11/10,15,设,则,所以：,2017/11/10,16,则,(注意 ， 且 ， 。因此，通常情况下，第二项为0),2017/11/10,17,推论：对于一般
4、的随机过程X(t)，有：,平均功率为：,利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳辛钦定理表示成：,2017/11/10,18,3单边功率谱,由于实平稳过程x(t)的自相关函数 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。,2017/11/10,19,例：平稳随机过程的自相关函数为 ，A0， ，求过程的功率谱密度。,解：应将积分按 和 分成两部分进行,2017/11/10,20,例：设 为随机相位随机过程其中， 为实常数 为随机相位，在 均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为 求 的功率谱密度 。,2017/11/10,
5、21,解：注意此时 不是有限值，即不可积，因此 的付氏变换不存在，需要引入 函数。,2017/11/10,22,例：设随机过程 ，其中 皆为常数， 为具有功率谱密度 的平稳随机过程。求过程 的功率谱密度。,解：,2017/11/10,23,四 平稳随机过程功率谱密度的性质,1 功率谱密度为非负的,即,证明：,2 功率谱密度是 的实函数,2017/11/10,24,3 对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，,即,又,2017/11/10,25,4 功率谱密度可积，即,证明：对于平稳随机过程，有：,平稳随机过程的均方值有限,2017/11/10,26,2.2 联合平稳随机过程的互谱密度,一、
6、互谱密度,考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)， 它们的样本函数分别为 和 ，定义两个截取函数 、 为：,2017/11/10,27,因为 、 都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围 (-T，T)内，两个随机过程的互功率 为:（注意 、 为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）,由于 、 的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:,2017/11/10,28,注意到上式中， 和 是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令 得：,2017/11/10,29,定义互功率谱密度为：,则,2017/11/10,30,同理，有：,且,以上定义了互功率和互功率谱密度
7、，并导出了它们之间的关系。,2017/11/10,31,二、互谱密度和互相关函数的关系,定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度 与互相关函数 之间的关系为,即,2017/11/10,32,若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有,即,结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。,2017/11/10,33,三、互谱密度的性质,性质1：,证明：,（令 ）,2017/11/10,34,性质2：,证明：,（令 ）,同理可证,2017/11/10,35,性质3：,证明：类似性质2证明。,性质4：,若X(t)与Y(t)正交，则
8、有,证明：若X(t)与Y(t)正交，则,所以,2017/11/10,36,性质5：,若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值 和 ，则,证明：,因为X(t)与Y(t)不相关，所以,（ ）,2017/11/10,37,性质6：,2017/11/10,38,解：,2017/11/10,39,2.3 离散时间随机过程的功率谱密度,一 离散时间随机过程的功率谱密度,1 平稳离散时间随机过程的相关函数,设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为:,简写为：,2017/11/10,40,2 平稳离散时间随机过程的功率谱密度,当 满足条件
9、式 时，我们定义 的功率谱密度为 的离散傅里叶变换，并记为,T是随机序列相邻各值的时间间隔。,是频率为 的周期性连续函数，其周期为,奈奎斯特频率,2017/11/10,41,因为 为周期函数，周期为 ，,在 时,2017/11/10,42,3 谱分解, z变换定义,在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为 的z变换，并记为 ，即,式中,式中，D为在 的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线。,2017/11/10,43, 性质,（因为 ）, 谱分解定理,包含了单位圆之内的全部零点和极点,包含了单位圆之外的全部零点和极点,2017/11/10,44,例：设
10、，求 和,解：,将z= 代人上式，即可求得,2017/11/10,45,功率谱密度和复频率平面,例：,2017/11/10,46,二 谱分解定理,1 谱分解,在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为 的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近 。这时 可以表示为两个多项式之比，即,2017/11/10,47,若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：,2017/11/10,48,据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于 的零、极点的如下性质：,（1） 为实数。,（2） 的所有虚
11、部不为0的零点和极点都成复共轭出现。,（3） 的所有零、极点皆为偶重的。,（4） MN。,2017/11/10,49,2 谱分解定理,根据上面的性质，可将 分解成两项之积，即：,其中,（零极点在s上半平面）,（零极点在s下半平面）,且,谱分解定理,此时,2017/11/10,50,3 为有理函数时的均方值求法,（1）利用,（2）直接利用积分公式,（3）留数法,2017/11/10,51,预备知识：留数定理,设 为复变量s的函数，其绕原点的简单闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个极点,则：,一阶留数,二阶留数,2017/11/10,52,上式积分路径是沿着 轴，应用留数法时，要求积分沿着一个
12、闭合围线进行。为此，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分。根据留数定理，不难得出,2017/11/10,53,例:,考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度,求过程的均方值,解: 用复频率的方法来求解。,用 代入上式得用复频率s表示得功率谱密度：,2017/11/10,54,因式分解：,在左半平面内有两个极点：-1和-3。于是可以分别计算这两个极点的留数为：,故：,2017/11/10,55,FT,DFT,2017/11/10,56,采样,香农采样定理,2017/11/10,57,采样,2017/11/10,58,其中，T为采样周期， 为在 时对 的采样。,1 确知信号的采样
13、定理(香农采样定理),设 为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围 ， 当采样周期T小于或等于 时，可将 展开为,二 平稳随机过程的采样定理,2017/11/10,59,采样,香农采样定理,2017/11/10,60,采样,2017/11/10,61,若 为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为 ，则当满足条件 时，可将 按它的振幅采样展开为,二 平稳随机过程的采样定理,2017/11/10,62,证明:,带宽有限，,第一步：,(1),的带宽也是有限,(2),令 ，则,(3),是确知函数，根据维纳-辛钦定理，,对 ，,对 应用香农采样定理,的，,对 应用香农采样定理,2017/11/10,63,第二步：,令,，则,=0,(2),这说明，,正交,
