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1、1动力学 I第一章运动学部分习题参考解答13解:运动方程: ,其中 。tanlykt将运动方程对时间求导并将 代入得034cos22lkllyv938in3llka16证明:质点做曲线运动,所以 ,nta设质点的速度为 ,由图可知:v,所以: ayncosyvn将 ,vy2nv代入上式可得 ca3证毕17证明:因为 ,n2avvasi所以: v3证毕xyoanvyxyoant2110解:设初始时,绳索 AB 的长度为 ,时刻 时的长度Lt为 ,则有关系式:s,并且 tvL022xls将上面两式对时间求导得:,0sx由此解得: (a)sv0(a)式可写成: ,将该式对时间求导得:x0(b)22v
2、sx将(a)式代入(b)式可得: (负号说明滑块 A 的加速度向上)32020xlvvxa取套筒 A 为研究对象,受力如图所示,根据质点矢量形式的运动微分方程有: gFmN将该式在 轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程:yx,Nsinco其中: 22i,colxlx 0,320yxlv将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得: 2320)(1(xllgmF111解:设 B 点是绳子 AB 与圆盘的切点,由于绳子相对圆盘无滑动,所以 ,由于绳子RvB始终处于拉直状态,因此绳子上 A、B 两点的速度在 A、B 两点连线上的投影相等,即:AxO AvAxOBvBRovovFNgmy3(a)cosAB
3、v因为(b)xR2s将上式代入(a)式得到 A 点速度的大小为:(c)2xv由于 , (c)式可写成: ,将该式两边平方可得:xvAR22)(xx将上式两边对时间求导可得: 232)(将上式消去 后,可求得:x2(d)24)(Rx由上式可知滑块 A 的加速度方向向左,其大小为 24)(RxaA取套筒 A 为研究对象,受力如图所示,根据质点矢量形式的运动微分方程有: gFamN将该式在 轴上投影可得直角坐标形式的yx,运动微分方程: gFNsinco其中:, xRxR2cos,sin 0,)(24yRx将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得 2525 )(,)(4xmgFxmFNxAvAO NF
4、BR gmy4113解:动点:套筒 A;动系:OA 杆;定系:机座;运动分析:绝对运动:直线运动;相对运动:直线运动;牵连运动:定轴转动。根据速度合成定理 reav有: ,因为 AB 杆平动,所以 ,ecosva由此可得 ,OC 杆的角速度为 , ,所以evOAecosllv2cos当 时,OC 杆上 C 点速度的大小为045 lalavvC24502115解:动点:销子 M动系 1:圆盘动系 2:OA 杆动系:机座;运动分析:绝对运动:曲线运动相对运动:直线运动牵连运动:定轴转动根据速度合成定理有, r1ea1vr2ea2v由于动点 M 的绝对速度与动系的选取无关,即 ,由上两式可得:1(a
5、)r1evr2e将(a)式在向在 x 轴投影,可得: 0r20e20e1 3cossin3sinv由此解得: smbOMvv /.)9(30cosi)(ta)(30tan 2120e12r2 avere1v2r2vrx532.0e2OMvsmv/59.rea117解:动点:圆盘上的 C 点;动系:OA 杆;定系:机座;运动分析:绝对运动:圆周运动;相对运动:直线运动(平行于 O1A 杆) ;牵连运动:定轴转动。根据速度合成定理有(a )reavv将(a)式在垂直于 O1A 杆的轴上投影以及在 O1C 轴上投影得:,0e03cos3cos 0e0a3sin3sinvv, ,Rvae Rra 5.
6、21RA根据加速度合成定理有(b)Crneta将(b)式在垂直于 O1A 杆的轴上投影得 a0ne0te0a 3sico3sin其中: , ,2R21ar1vC由上式解得: 2te13119解:由于 ABM 弯杆平移,所以有 MAAav.,取:动点:套筒 M;动系:OC 摇杆;定系:机座;运动分析:绝对运动:圆周运动;相对运动:直线运动;牵连运动:定轴转动。averatenerCaver6根据速度合成定理 reavv可求得: , ,m/s22bvAM m/s2erbvrad/s345.11O根据加速度合成定理Caarnetnat将上式沿 方向投影可得:CCate0na0ta45si45cos由
7、于 , , ,根据上式可得:221nm/8l2t/s1b2rm/s8v,0ta45cos7 2ta1 ad/3)47(l1-20 解:取小环为动点,OAB 杆为动系运动分析绝对运动:直线运动;相对运动:直线运动;牵连运动:定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示,其中: rOMv260cose根据速度合成定理: reav可以得到: ,rv3260cosint2ea rv460coser加速度如图所示,其中:,2022ecsrOM2r8vaC根据加速度合成定理:Caaretanatanear CavMOABrexCaaMO ABre7将上式在 轴上投影,可得: ,由
8、此求得:x Caacosse 2a14r121解:求汽车 B 相对汽车 A 的速度是指以汽车A 为参考系观察汽车 B 的速度。取:动点:汽车 B;动系:汽车 A(Oxy) ;定系:路面。运动分析绝对运动:圆周运动;相对运动:圆周运动;牵连运动:定轴转动(汽车 A 绕 O 做定轴转动)求相对速度,根据速度合成定理 reavv将上式沿绝对速度方向投影可得: rea因此 arv其中: ,ABBRv,ea由此可得: m/s9380rBAvR求相对加速度,由于相对运动为圆周运动,相对速度的大小为常值,因此有: 22rnr /s78.1BRva1-23 质量为 销钉 M 由水平槽带动,使其在半径为 的固定
9、圆槽内运动。设水平槽以匀速mr向上运动,不计摩擦。求图示瞬时,圆槽作用在销钉 M 上的约束力。vOxy evavrOxy nraMrO vgmOFMrO vgm8解:销钉 M 上作用有水平槽的约束力 和圆槽的约束力 (如图所示) 。由于销钉 M 的运FOF动是给定的,所以先求销钉的加速度,在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点,水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。根据速度合成定理有 reav由此可求出: 。再根据加速度合成定理有:coseavv rea由于绝对运动是圆周运动,牵连运动是匀速直线平移,所以 ,并且上式可写成:0ernat因为 ,所以根据上式可求出 。22anc
10、osrv 32nat cosirv根据矢量形式的质点运动微分方程有: gFammO)(nt将该式分别在 轴上投影: x cosssiata由此求出: )1(tnco2rvFO1-24 图示所示吊车下挂一重物 M,绳索长为 ,初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以l均加速度 沿水平滑道平移。试求重物 M 相对吊车的速度与摆角 的关系式。a 解:由于要求重物相对吊车的速度,所以取吊车为动系,重物 M 为动点。根据质点相对运raevarMrO nMO tM teagmF9动微分方程有 erFgam将上式在切向量方向投影有 cossinetl因为 ,所以上式可写成,emaFddtt cossinmagl
11、整理上式可得 dssidl将上式积分: caglinco2其中 为积分常数(由初始条件确定) ,因为相对速度 ,上式可写成c lvrcaglvsinco2r初始时 ,系统静止, ,根据速度合成定理可知 ,由此确定 。00ea 0rvgc重物相对速度与摆角的关系式为: sin)1(cos2r aglv1-26 水平板以匀角速度 绕铅垂轴 O 转动,小球 M 可在板内一光滑槽中运动(如图 7-8) ,初始时小球相对静止且到转轴 O 的距离为 ,求小球到转轴的距离为 时的相对速ROR度。解:取小球为动点,板为动系,小球在水平面的受力如图所示(铅垂方向的力未画出) 。根据质点相对运动微分方程有: Cm
12、FaerRRoOCFeRRoF rvO10将上式在 上投影有 rv cosdertrFvma因为 , , ,所以上式可写成2emRFtRvtdrrrcscos2rRv整理该式可得 ,将该式积分有2rv r1初始时 , ,由此确定积分常数 ,因此得到相对速度为OR0r 2OcrRv1-27 重为 P 的小环 M 套在弯成 形状的金属丝上,该金属丝绕铅垂轴 以匀角速度2cxyx转动,如图所示。试求小环 M 的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。解:取小环为动点,金属丝为动系,根据题意,相对平衡位置为 ,因为金属丝为曲0ra线,所以 ,因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其0rv中 分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有:PF,e 0ePF其中: ,将上式分别在 轴上投影有2eygyx,(a)0cosineFP以为 , , ,因此xydtan22dxy(b)2tanc由(a)式可得xyM xyMFeP11(c)etanFP将 代入(c) ,联立求解(b) 、 (c)并利用 ,可得:2eygPF 2cxy3123124,ggx再由方程(a)中的第一式可得 342441sin gcPcxcxPF