《概率论与数理统计§5.2 中心极限定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计§5.2 中心极限定理（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.2 中心极限定律 中心极限定理的概念中心极限定理的概念 中心极限定理中心极限定理 中心极限定理的应用中心极限定理的应用 小结小结 练习练习引例考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的 误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速 、风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不 同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它 们中每一个对总和产生的影响不大.问题 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小 的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.5.2.1 中心极限定理的概念
2、（依分布收敛）5.2.2 中心极限定理1. 独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)定理表明证明根据第4章第2节例题可知2. 德莫佛拉普拉斯定理根据独立同分布中心极限定理得定理表明正态分布是二项分布的极限分布. 当n充分大 时, 可利用正态分布来近似地计算二项分布的概率.5.2.3 中心极限定理的应用1. 二项分布概率的近似计算当n很大时, 直接计算很困难. 根据德莫佛-拉普拉斯 中心极限定理, 可用正态分布来近似计算.例1 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开 灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的， 试求夜晚同时开着的灯数在68007200盏之间的概率. 解
3、令 X 表示在夜晚同时开着的灯数，则分布律为所求概率为直接计算很麻烦, 利用德莫佛拉普拉斯中心极限 定理来近似计算.注：与切比雪夫不等式估算的结果相比较-精确得多一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪 的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受 了90 000次波浪冲击, 问其中有29 50030 500次 纵摇角大于 3 的概率是多少？解 将船舶每遭受一次海 浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为 X,则 X 是一个随机变量,例2利用德莫佛拉普拉斯中心极限定理来近似计算.某保险公司的老年人寿保险有1万人参加, 每 人每年
4、交200元. 若老人在该年内死亡, 公司付给家 属1万元. 设老年人死亡率为0.017, 试求保险公司在 一年内的这项保险中亏本的概率.解设 X 为一年中投保老人的死亡数, 则由德莫佛拉普拉斯中心极限定理知,例3保险公司亏本的概率2. 用频率作为概率的近似值的误差估计由伯努利大数定律可知根据德莫佛拉普拉斯中心极限定理，当n充 分大时，有注：用这个关系式可解决许多计算问题.重复掷一枚质地不均匀的硬币, 设在每次试 验中出现正面的概率 p 未知. 试问要掷多少次才能 使出现正面的频率与 p 相差不超过1/100的概率达 95%以上？例4解由题意, 要求n, 使即即即即而所以, 要掷9604次以上才
5、能使出现正面的频率与 概率相差不超过1/100的概率达95%以上.两个中心极限定理独立同分布中心极限定理德莫佛拉普拉斯中心极限定理中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于 正态分布. 小结一个复杂系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率 为0.10. 为了使整个系统起作用，至少必须有85个 部件正常工作，求整个系统起作用的概率.解 设 X 是损坏的部件数，则 X b(100, 0.1). 则整个 系统能正常工作当且仅当 X 15. 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有某螺丝钉厂废品率为0.01，问一盒中应装多少个螺丝钉才能使得盒中合格品数目不少于 100个的概率不少于0.95？
