《创新设计2011排列组合二项式定理10-57》由会员分享，可在线阅读，更多相关《创新设计2011排列组合二项式定理10-57（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题第57课时 二项式定理1二项式定理这个公式所表示的定理叫二项项式定理，右边边的多项项式叫(ab)n的 2二项式系数：二项项展开式中有n1项项，各项项的系数 (r0,1，n)叫 系数3通项： anrbr叫二项项展开式的 ，用Tr1表示，即通项项Tr1Canrbr.二项展开式二项式通项4二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项项式系数 (2)增减性与最大值值相对对于 的增减情况由 决定，1k 相等当k 时，二项式系数逐渐 由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得 ；当n是偶数时，中间一项 取得最大值；当n
2、是奇数时，中间两项 取得最大值(3)各二项式系数和： 增大最大值1若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则则a0a2a4的值为值为 ()A9 B8 C7 D6解析：(x1)41 x4a0a1xa2x2a3x3a4x4a01，a2 6，a41，a0a2a48.答案：B2 若( )n的展开式中各项项系数之和为为64，则则展开式的常数项为项为 ( )A540 B162 C162 D540解析：由已知条件(31)n64，则n6，Tr1 由3r0得r3，则展开式中的常数项为 540.答案：A3在(x )2 006的二项项展开式中，含x的奇次幂幂的项项之和为为S，当x 时时，S等于( )A23
3、008 B23 008 C23 009 D23 009解析：(x )2 006x2 006由已知条件S22 00521 00323 008.答案：B4(2010上海春)在 的二项项展开式中，常数项项是_解析：Tr1 ，由题意知123r0，r4，故常数项为T560.答案：60对于二项展开式(ab)n 中，叫做通项，要注意此项是展开式中的第r1项，同时要注意此项的二项式系数与系数的区别，利用通项实际上是从局部解决与二项式定理的相关问题【例1】 若(x1)nxnax3bx21(nN)且ab31，那么n_.解析：a ，b 又ab31，所以 ， 3，解得n11.答案：11变式1.在二项项式(13x)n的
4、展开式中，若所有项项的系数之和等于64，那么n_，这这个展开式中含x2项项的系数是_解析：本题考查二项式定理知识令x1得二项展开式各项系数和，即(13)n64n6，因为Tr1 ，令r2得其系数为 135.答案：6 135利用二项项展开式可以解决如整除、近似计计算、不等式证证明、含有组组合数的恒等式证证明，以及二项项式系数性质质的证证明等问题问题 【例2】 若多项项式x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则则a9等于( )A.9 B10 C9 D10解析：x2x10(x1)12(x1)11012(x1) (x1)10.a9 10.答案：D变式2.若(2x )4a0a1xa2
5、x2a3x3a4x4，则则(a0a2a4)2(a1a3)2的值值是( )A1 B1 C0 D2解析：令x1得a0a1a2a3a4(2 )4，令x1得a0a1a2a3a4( 2)4，则(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(2 )4( 2)41.答案：A二项式定理内容是排列组合知识的延续，可通过项数、次数、系数确定展开式，而杨辉三角充分展示了二项式系数的性质和规律，而对其性质及结论的证明和推导可利用排列组合的知识及数学归纳法等进行论证【例3】 在杨辉杨辉 三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和(1)试试用组组合数表示这这个一般
6、规规律；(2)在数表中试试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试试探究在杨辉杨辉 三角形的某一行能否出现现三个连续连续 的数，使它们们的比是345，并证证明你的结论结论 第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1 解答：(1)(2)，则122n2n11.(3)假设设在第n行中有三个连续连续 的数它们们的比为为345，即 由 ，得7r3n3，由 ，得9r4n5，解联联立方程组组得因此可知：第62行的第27,28,29个数它们们的比是345.变式3.已知( )n(nN*)
7、的展开式中第五项项的系数与第三项项的系数的比是101，(1)证证明：展开式中没有常数项项； (2)求展开式中含 的项项；(3)求展开式中所有的有理项项；(4)求展开式中系数最大的项项和二项项式系数最大的项项解答：由题题意第五项项系数为为 ，第三项项的系数为为 ，则则 ，解得n8(n3舍去)通项项公式Tr1 (1)证证明：若Tr1为为常数项项，当且仅仅当 0，即5r8，且rZ，这这是不可能的，所以展开式中没有常数项项(2)展开式中含 的项项需 ，则则r1，故展开式中含 的项为项为 T216 (3)由Tr1 ，若Tr1为为有理项项，当且仅仅当 为为整数，而0r8，故r0,2,4,6,8，即展开式的
8、有理项项有5项项，它们们是：T1x4，T3112x1，T51 120x6，T71 792x11，T9256x16.(4)设展开式中的第r项项、第r1项项、第r2项项的系数绝对值绝对值 分别为别为，若第r1项项的系数绝对值绝对值 最大，则则解得5r6，第6项项和第7项项的系数的绝对值绝对值 相等且最大，而第6项项的系数为负为负，第7项项系数为为正系数最大的项为项为 T7 .由n8知第5项项二项项式系数最大，此时时T5 【方法规律】1利用二项式定理可解决含组合数的等式和不等式的证明，还可解决整除及近似计算等问题2二项式定理主要是展开式和通项的应用，可利用展开式证明等式和不等式等，可利用通项公式求特
9、定的项3解决二项式系数和系数等问题要注意使用排列、组合和数列等相关方法4二项式定理的应用是高考的必考内容，一般只在客观题中考查一些简单问题，建议复习时一定立足于基本5杨辉三角不仅可反映二项式系数的所有性质，还可反映出非常多的数字规律，为发现问题和解决问题提供了优良的操作平台，读者可尽情地发现、挖掘和探究. 将杨辉杨辉 三角中的每一个数 ，都换换成分数 就得到一个如下图图所示的分数三角形，称为为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x_.令 ，则则 = .【答题模板】解析：本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质，通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，故此时xr1，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即：an，根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项 ，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为 ，故an ，从而an 【分析点评】点击此处进入 作业手册1. 高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一，但题目较为容易，多以选择题和填空题的形式出现2本题立意新颖，类比杨辉三角解决莱布尼茨三角形中的相关问题，考查观察与思维的敏捷性，而数列求和也体现了较高的运算技巧.
