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1、结构力学结构力学第第4 4章章 实体三铰拱实体三铰拱 4.1 4.1 基本概念基本概念拱结构拱结构指杆的轴线为曲线，且在竖向荷载的作用下能产在竖向荷载的作用下能产 生水平推力生水平推力的结构。 拱与梁的区别拱与梁的区别(1) 拱的轴线为曲线，而梁一般为直线（有时也有曲线的）； (2) 拱在竖向荷载的作用下能产生水平推力，而梁不能。例如： 水平推力的存在，是拱结构区别于梁的一个重要标志。因此，通常又把拱结构称为推力结构称为推力结构。直梁曲梁拱工程中常见的拱结构形式有 无铰拱在带拉杆的三铰拱中，拉杆的内力拉杆的内力代替了支座的水平推力，因此，在竖向荷载的作用下支座只产生竖向反力， 结构内部的受力与
2、拱完全一样。 三铰拱二铰拱带拉杆的三铰拱带拉杆的三铰拱拱的专业术语拱的专业术语拱趾 拱两端支座称为拱趾； 拱顶 拱中间的最高点称为拱顶； 矢高 拱顶到两支座连线的竖向距离 f 称为矢高； 矢跨比 矢高 f 与跨度 l 之比 f/l，称为矢跨比。矢跨比是 拱的基本参数，工程中大多数为 f/l =（10.1）。 拱结构的优缺点拱结构的优缺点 : :优点优点缺点缺点 需比梁更坚固基础或支承结构，外形比梁复杂 ，施工难度较大。 (1)较为省材料，自重减轻，能跨越较大的空间； (2)由于有水平推力的存在，其各个截面上的弯矩比 相应的曲梁或梁要小，因此可利用抗压性能好、抗 拉性能差的材料（如砖、石、混凝土
3、等）来建造。 fl4.2 4.2 三铰拱的解析法三铰拱的解析法曲梁部分在材料力学中已讲过，主要应注意截面选取截面选取应与曲梁的轴向相垂直应与曲梁的轴向相垂直。这里主要介绍三铰拱的有关计算。三铰拱为静定拱，下面以两拱趾在同一水平线上的平拱（两拱趾不在同一水平线上方法一样）为例介绍三铰拱的 反力及内力计算。 (1)(1)支座反力的计算支座反力的计算 如图所示三铰拱 由X=0 得AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHB由补充方程MC =0得(考虑左 半部分拱) 我们来分析与之相对应的简支梁对于简支梁易得 比较可知 AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1
4、b2bnfVBVAHAHBVB0VA0ABFp1Fp2FpnC KK由上式可知，推力等于相应 简支梁截面C的弯矩 MC0 除以矢 高f，在一定荷载作用下，推力只与三个铰的位置有关，而与各铰 间的拱轴曲线形式无关。(4-1)由于推力与矢高 f 成反比关系，因此，拱愈低推力愈大，当 f0时，推力H。此时A、B、C三铰在同 一直线上，成为瞬变体系成为瞬变体系。AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHBVB0VA0ABFp1Fp2FpnC KK(2)(2)任一任一K K的内力的计算的内力的计算 用截面法可求出拱任一截面 的内力。对于任一截面K取研究 对象如图(b)所示
5、。K拱的任一截面内力符号规定 为：弯矩M，使拱内纤维受拉的 为正；剪力FQ，对隔离体产生顺 时针矩的为正（与梁相同），轴 力FN，受压为正。 (4-2) MKyKxK VAHxyFp1FQKFNK KK图(b)VA0Fp1F0QKAClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHB (4-3)(3)(3)三铰拱的内力图三铰拱的内力图有了上述任意截面的内力方程，不难画出其内力图 。与梁刚架类似，在集中力作用处，FNK和FQK图将突 变，在集中力偶作用处，M图将突变。由于拱轴为曲线，可采用描点法来作内力图。 下面举例说明。 所有的力向FNK方向投影得所有的力向FQK方向投影
6、得图(c)VA0Fp1F0QKMKyKxK VAHxyFp1FQKFNK KK例例1 1 三铰拱及受载如图示，求支反力并作内力图。解解 (1)求支座反力(2)求内力方程AC段：4mxAC4mB8m4mq=1kN/mFp=4kNDyHVBVAHABFpCqD相应简支梁VB0VA0CD段：DB段：上述各式中 4mxAC4mB8m4mq=1kN/mFp=4kNDy利用上述方程可以求出任一截面的内力，为了方便绘 图，通常列表求出有限个截面的内力数值，然后根据表中 数据，采用描点法即可得到内力图（有限个截面选取时要 注意，有些关键截面内力突变截面不要漏掉）。若八等分，则计算结果如下表所示。 截面几何参数
7、截面内力 截面 x/m y/m / M/kN.m FQ/kN FN/kN 100 45 00.71 9.19 22 1.75 36.87 1.5 0.4 7.80 34 3.00 26.57 2 0 6.70 463.7514.04 1.5 -0.49 6.06 581000-1.00 6.00 6103.75-14.04 -0.5 0.49 6.06 7123.00-26.57 2 左：1.79 左：5.81 右：-1.79 右：7.60 8141.75- 36.87 -0.5 -0.4 7.8 9160-45 00.7 7.78 1234567 89M图（kN.m）1.521.50.520
8、.5FQ 图（kN）0.710.40.491.00.491.791.790.40.70FN 图（kN）9.197.8 6.76.066.06.065.817.67.87.78注意：在FQ=0处，M图有极值; 在集中力作用处，FQ图和FN图均发生突变。 4.3 4.3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线合理拱轴线合理拱轴线在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态时的拱轴线，称为合理拱轴线合理拱轴线。 因此，若拱轴为合理拱轴线，根据定义，则任一截面有即 (4-4) 这就是合理拱轴线应满足的方程合理拱轴线应满足的方程。下面举例说明如何确定合理拱轴线。 xy例例2 2 对称三铰拱受载如图示，求其合理拱轴
9、线。 解解 建立如图所示坐标系 相应简支梁任一截面 的弯矩方程为 代入（4-4）式即得合理拱轴线为 (4-4) qAC Blf例例3 3 求图示对称三铰拱的合理拱轴线。其上所受的分布荷 载为q=qd+.y（为填料的容重）。 解解 由于荷载 q 也与拱轴的形状 有关，故此时无法直接应用 （4-4）式。 注意注意： 也与拱轴形状有关，即也是x的函数，这里仅是近似处理，形状的微小改变，对水平推力的 影响较小，忽略不计。 (a )(4-4) fAC Blxyqqdq=qd+.y(x)整理可得 (b)式的解可由双曲函数双曲函数表示为 (b) 其中 (c) 或 (d) 边界条件为： 由边界条件得： 代回(
10、d)式得上式表明，三铰拱在填土重量填土重量的作用下，合理拱轴线为一悬链线悬链线。 例例4 4 图示三铰拱沿拱轴的法向受均布压力，试证明合理 拱轴线为圆弧线。证明证明因为q不是竖向荷载，不能 直接应用（4-4）式。设拱轴 的曲率半径为 ，取出为段 ds为研究对象。如图示FN FQMFN+dFNFQ+dFQM+dMoxyd由X=0 得 d很小 (a)因此(a)式整理可得 (b)(4-4) ACqB由Y=0得 (c )上式整理可得(d)由 得(e)上式整理可得(f)分析：当拱轴为合理轴线时，有M=0，由(f)式知， FQ =0； 将其代回(d)式知， FN =常数；由(b)式知， =FN /q=常数
11、常数。故当拱轴为合理轴线时，其曲率半径为常数常数。 证毕证毕(b)FN FQMFN+dFNFQ+dFQM+dMoxyd4.4 4.4 三铰刚架的计算三铰刚架的计算三铰刚架是杆轴线为折线形式的推力结构推力结构。它的支座 反力计算与三铰拱一样，而内力的计算与刚架相同。下面 举例说明。 例例5 5 如图示对称刚架，作M图。解法一解法一：可把此结构视为由虚铰 A和B实铰C相连的三铰刚架。利用所求虚铰的约束反力，可求 出虚铰中各链杆的内力。 BVA Af HHVB FE11ABCDGH33331q=1kN/m(长度单位m)图(a)VA 0VB 0 图(b)VA AHVA FNDE图(c)由图(c)得B
12、HVB VBFNDF图(d)由图(d)得 这样可求得刚架的受力如图(e)所示。ABCEFGq=1kN/mVA VB FNDEFNDE图(e)H杆端弯矩杆端弯矩：作弯矩图作弯矩图：如图(f)所示。5.7 4.2 解法二解法二：求约束反力时，也可取AC、BC两刚片分别作为研究对象如图(g)所示。 考虑图(g)左半部分,由MA=0得考虑图(g)右半部分,由MB=0得(a)(b)联立(a)和(b)解得M图(kN.m) 图(f)112/8=0.125 132/8=1.125 ABCEFGq=1kN/mVA VB FNDEFNDE图(g)HCVC VC HC HC ABM图(kN.m) 图(f)5.7 4.2 1112/8=0.125 132/8=1.125 杆端弯矩杆端弯矩： 作弯矩图作弯矩图：如图(f)所示。ABCEFGq=1kN/mVA VB FNDEFNDE图(g)HCVC VC HC HC AB5.7 4.2 M图(kN.m) 图(f)112/8=0.125 132/8=1.125 M图(kN.m) 图(f)5.7 4.2 1112/8=0.125 132/8=1.125
