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1、 第一章 第二节 线性变换及其矩阵主要内容：线性变换线性变换的运算线性变换的值域与核1第二节 线性变换及其矩阵线性变换的矩阵表示 相似矩阵 线性变换的特征值与特征向量 不变子空间（自学） Jordan标准型介绍2一、线性映射（变换）的定义及运算则称T是从V到W的一个线性映射或线性算子。设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W的一个 映射，如果对于当 V=W时, T也称为V上的一个线性变换。3例1 恒等变换例2 0-变换线性变换举例：4例3 求导运算是多项式空间C n x上的线性变换。例4 定义在闭区间a,b上的所有连续函数的集合Ca,b是一 个线性空间，则Ca,b的积分运算是线性变换。5
2、线性映射（变换） 有以下性质：（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相 关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的 线性无关向量组；（4）设 则并且6可以验证，线性空间V的线性变换经加法与数乘运算 后仍为线性变换，并且满足下列基本性质设 都是线性空间V的线性变换，定义线性 变换的加法，设T是线性空间V的一个线性变换，k是数域F上的一个 数，定义线性变换的数乘，（2） 结合律（1） 交换律 线性变换的运算：7（8） （3） 存在零变换o,（4） 存在负变换-T,（5） 第一分配律 （6） 第二分配律（7） 结合律 令表示n维线性空间V的所有线性变换的集合，则在线性变换的加法与数乘运算
3、下构成数域F上的 一个 维线性空间。8容易验证线性空间V上线性变换的积也是一个线性 变换，并且满足下述性质 （1） 结合律 设 都是线性空间V的线性变换，定义线 性变换的积，需要注意的是，线性变换的积一般不满足交换律， 即（2） 分配律例：在 中定义线性变换：由于则 9当T是可逆变换时，定义设T是线性空间V的一个线性变换， 是一个多项式，则T的多项式为若线性变换的积可交换，即则称可交换的。此时也称 是可逆线性变换。10线性变换的值域与核设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N (A)分别为-T的全体象组成的集合-被T变
4、成零向量的向量组成的集合11实例求导运算T在多项式空间C n x上的值空间R(T) 与核空间N (T)分别为注： C n xR(T)+N(T)R(T)=L1 , x , x2 , , x n-1 N(T)= 1 12（1） T的值域R(T)与核N (T)都是V的子空间；（3）dim(R(T)+dim(N(T)=n.则定理：设T是n维线性空间V的一个线性变换，是n维线性空间V的基，分别称为象子空间，核子空间；象子空间的维数dim R(T) 称为T的秩，核子空 间的维数称为T的零度（或亏）13证（3）设令是的一组基，把它扩充为V的一组基则有要证只要证明线性无关设则有即所以是V的一组基，则线性无关。
5、（3）dim(R(T)+dim(N(T)=n.14例 在 中定义T： 求T的值域与核，并确定其秩与零度。解：容易验证T为 上的线性变换，设则由解得从而T的零度为0； T的秩为3；又因为所以15设T是n维线性空间V的一个线性变换，是n维线性空间V的基，称A为T在基 下的矩阵。二、线性变换的矩阵表示（2）给定n维线性空间V的基后，V上的线性变换与 n阶矩阵之间存在一一对应关系。基向量的象可以被基线性表出，即说明（1）矩阵A的第i列恰是 的坐标；16（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在基下的矩阵为且向量在该基下的坐标为则在该基下的坐标为是n维线性空间V的基，（3）设T1，T2是n维线性空间V的两
6、个线性变换，T1，T2在该基下的矩阵为则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下矩阵分别为17（5）设 是纯量多项式，T为V中的线性变换，且对V的基 有 则V的线性变换f(T)在该基下的矩阵为： 其中f(A)称为矩阵A的多项式。 18例1、试确定在多项式空间Pn x上的求导运算T 分别在下列两组基下的表示矩阵说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般 是不同的，它们之间的关系是相似矩阵。19例2、在R3中线性变换T将基 变为基其中（1）求T在基 下的表示矩阵；（2）求向量 及在基 下的坐标解（1）依题意则 （2）设则20证明定理：T在基 下的矩阵为A， 在基 下的矩阵为B，从基 到基 的过
7、渡矩阵为P，则再由 线性无关可得：从而有相似矩阵21矩阵的相似关系是一个等价关系，可以利用这一关系将n 阶矩阵划分为若干等价类.进而得出 1 n维线性空间V的同一线性变换在不同基下的矩阵是 相似的。 2 n维线性空间V的一个线性变换与n阶矩阵的一个等 价类一一对应。设如果存在可逆矩阵P，使得已知A与B相似，则 则称矩阵A与B是相似的，记为A B为纯量多项式 则22例3、设T是 的线性变换，有求T在基下的表示矩阵。解法一：直接法（同例1）解法二：利用同一线性变换在不同基下的表示矩阵是相 似矩阵这一结论。选取一组简单基：基到基的过渡矩阵为基在T下的象为：23T在基 下的表示矩阵为：则T在基 下的表
8、示矩阵为：24定义 设T是n维线性空间V的一个线性变换,对于数 ，如果存在非零向量 ，使得，（2）特征值 的全体特征向量及零向量组成的 集合是一线性空间，记为 则称 是T的特征值， 是T的属于 的特征向量，简称特征向量。称为V的特征子空间性质（1）若 是对应于特征值 的特征向量， 则 也是对应于特征值 的特征向量； 下面讨论确定线性变换特征值与特征向量的方法三、线性变换的特征值与特征向量25设 是n维线性空间V的一组基,线性变 换T在这组基下的矩阵为 令 是T的特征值， 是T的属于 的特征向量。设 关于基的坐标为关于基的坐标分别为则由知从而有因此 满足26矩阵的特征值定义矩阵A的特征多项式为X
9、是A属于 的特征向量。则称 是A的特征值，设A是n阶矩阵，27给定一个n阶矩阵A为A的特征矩阵。 称为矩阵A的特征方程。称28例计算A的特征值与特征向量。29计算过程A的特征向量矩阵A的特征多项式为A的特征值为对于解方程组(-I-A)X=0,得特征向量 x1=(1,0,-1)T,X2=(0,1,-1)T对于解方程组(5I-A)X=0,得特征向量 x3=(1,1, 1)T30从以上的讨论可知：欲求线性变换T的特征值和特征 向量，只要求出T的矩阵A的特征值和特征向量。T的特征值就是A的特征值，而T的特征向量在线性空 间V的基下的坐标与A的特征向量一致。例：设线性变换T在线性空间V中的一组基 下的矩
10、阵为求T的特征值和特征向量31计算过程的特征向量矩阵A的特征多项式为T的特征值为对于解方程组(-I-A)X=0,得基础解系： x1=(1,0,-1)T,X2=(0,1,-1)T解方程组(5I-A)X=0,得基础解系x3=(1,1, 1)T对于T的属于的两个线性无关的特征向量为T的属于T的全体特征向量为 32(1) 特征多项式相等，即 (2) 行列式相等，迹相等 (3) 秩相等 (4) 特征值相同。相似矩阵的性质33例 设A与B相似,求参数a及b 解 依相似矩阵的性质 可得方程组： 34特征值性质设矩阵A=(a ij )的特征多项式为35矩阵的谱称m i 是特征值 的代数重复度。设A是n阶矩阵，
11、A的相异特征值的集合称为矩阵A的谱.设矩阵A的特征多项式为36A的特征子空间称n i 为 的几何重复度。设A是n阶矩阵,定义A的相应于特征值 的特征子 空间为定理 n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于 代数重复度。37定理 n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。证明 设A是线性空间C n的线性变换T在某组基下的表示 矩阵， m i ， n i是特征值 的代数重复度与几何重复 度，对于特征子空间W,存在补空间V,使得则T在此基下的表示矩阵为取W与V的一组基，不妨记做因为A与B相似，故所以， 的代数重复度不小于n i38定义 设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W 的一个
12、线性映射，如果T是1-1映射，则称T是从V到W的 一个同构映射；并称线性空间V,W是同构的。线性空间V,W是同构的意义在于它们有相同的代数性质定理 设T是从V到W的一个同构变换，则T将V的线性无关组变换为W的线性无关组;T将V的基变换为W的基;(1 )(2 )(3) (4)例 R上的任意n维线性空间V与n维向量空间 是同构 的；n维线性空间V的所有线性变换形成的 维线性空 间 与 阶矩阵形成的线性空间同构。39设T是n维线性空间V的一个线性变换，S是V的一个子空 间，称S是V的一个关于T的不变子空间，如果四、不变子空间（1）T的值空间R(T)与核空间N (T)都是T的不变子空间。（2）T的特征子空间是T的不变子空间。例 设T是n维线性空间V的一个线性变换，40
