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1、第一节二重积分的概念与性质一. 二重积分的概 念1引例曲顶柱体的体积曲顶柱体： 柱体的底是xoy面上的一有界闭区域D；侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面；顶是曲面z=f(x,y)(f(x,y) 0),f在D上连续。区域的直径：闭区域上任意两点间距离的最大值，称为闭区域的直径。平顶(z=f(x,y)=常数)柱体的体积：体积 = 高（z=常数） 底面积（区域D的面积 ）（请回忆在61解决计算曲边梯形面积的思想分析方法：）oxyzDz=f(x,y)yxz z=f(x,y)oD(i,i)i曲顶柱体的体积V:分割：D = 12 nV = V1V2 Vn (i为Vi窄条曲顶柱体的底；di为i
2、的直径。) 近似：近似地将小曲顶视为平顶（满足条件：z=f(x,y)连续，小区域i的直径di很小），以点(i,i) i的竖坐标f(i,i)为高，则得每个小窄条曲顶柱体的体积近似值Vif(i,i)i (i=1,2, ,n)求和：取极限：其中d = maxd1,d2,dn,用i也示小区域的面积。2引例平面薄片的质 量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为 设D 的面积为 ,则若非常数 , 仍可用其面密 “分割, ,近似和, 求 极限” 解决. 1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .2)“近似”中任取一点3)“近似和”4
3、)“取极限”则第 k 小块的质量两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“分割, 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 2.定义（二重积分） ：设z=f(x,y)在区域D上有界，则 分割：用平面曲线网将D分成n个小区域1,2, ,n各个小区域的面积是 1 ,2 ,n各个小区域的直径是 d1,d2 ,dn 近似：在各个小区域上任取一点 (i,i)i ，作乘积f(i,i)i (i=1,2, ,n) 求和：取极限：当n且l=maxd1,d2,dn0 时，极限存在，则称此极限值为z=f(x,y)在D上的二重积分，记为即f(x,y) 被积函数 f(x,y)d 被积
4、表达式d 面积元素 x,y 积分变量D 积分区域 积分和式注 记 ： 在直角坐标系中，i(xi)(yi) 面积元素 d=dxdy,故二重积分又有形式 由于二重积分的定义，曲顶柱体的体积是 二重积分的几何意义：当f(x,y)0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积；当f(x,y)0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积的负值；当f(x,y)在D上既有在若干分区域上取正值，也有在其余区域上取负值时 ，二重积分的几何意义是：xoy面上方的柱体体积为正、下方的为负时的柱 体体积的代数和。 函数f(x,y)在闭区域D上连续，则 f(x,y)在D上的二重积分必定存在。 n(l0)时，积分和式极限存在，
5、与对D区域的分法无关，与(i,i)i的取法无关，仅与D和f(x,y)有关。 “i的直径很小” 与 “i的面积很小” 对于 “近似” 有根本的区别，因此极限过程用l0，而不能仅用n来描述。二二重积分的性质（为D的面积）（D=D1+D2） 在D上,若恒有f(x,y)g(x,y) ，则特别地，在D上若f(x,y)0 ( 0 ) 恒成立，则 在D上若mf(x,y)M ，为D的面积，则( 0 ) 二重积分中值定理：设f(x,y)C(D)，D为有界闭区域，为D的面积，则至少 (,)D， 使例题解析例1设利用二重积分的几何意义说明I1和I2之间的关系解：由二重积分的几何意义知，I1表示底为D1，顶为曲面 z
6、=（x2+y2）3的曲顶柱体M1的体积；I2表示底为D2，顶 为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体M2的体积；由于位于D1 上方的曲面z=（x2+y2）3关于yox面和zox面均对称， 故yoz面和zox面将M1分成四个等积的部分，其中位于 第一卦限的部分即为M2。由此可知xy1-1-22例2利用二重积分的几何意义确定二重积分的值，其中解：曲顶柱体的底部为圆盘其顶 是下半圆锥面故曲顶柱体为一圆锥体，它的 底面半径及高均为3，所以例3利用二重积分的几何意义说明：（1） 当积分区域D关于y轴对称，f（x，y）为x 的奇函数，即f（-x，y）= -f（x，y）时有（2） 当积分区域D关于y轴对称，f（x，y）为x 的偶函数，即f（-x，y）= f（x，y）时有（D1为D在x0的部分）注 记 ：结论的推广（1） 当积分区域D关于x轴对称，f（x，y）为y 的奇函数，即f（x，-y）= -f（x，y）时有（2） 当积分区域D关于x轴对称，f（x，y）为y 的偶函数，即f（x，-y）= f（x，y）时有（D1为D在y0的部分）例4比较分析：主要考虑【附注】比较 和 的大小先令 得曲线在 的两侧 一般的有判断D在曲线的哪一侧，即可判断的大小例5利用二重积分的性质估计积分值的范围分析：【作业】习题911、2、3
