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1、偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)1浙江大学数学系参考书目数学物理方程, 王明新, 清华大学出版社。数学物理方程，姜礼尚，高教出版社。工程技术中的偏微分方程，潘祖梁，浙江大学出版社。2浙江大学数学系一. 偏微分方程的基本概念自变量未知函数偏微分方程的一般形式3浙江大学数学系PDE的阶：PDE 的解 古典解广义解一些概念是指这样一个函数，它满足方程 ，并且在所考虑的区域内有m阶 连续偏导数。 线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE4浙江大学数学系线性PDE：PDE中对所含未知函数及其各阶导数的 全体都是线性的。例如：常系
2、数线性PDE:不然称为变系数的齐次线性PDE:不然称为非齐次的线性PDE的主部: 具有最高阶数偏导数组成的部分主部5浙江大学数学系PDE中对最高阶导数是线性的。例如：半线性PDE：完全非线性PDE： PDE中对最高阶导数不是线性的。拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为 自变量的函数。例如：6浙江大学数学系举例（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：7浙江大学数学系举例（未知函数为二元函数）4.3.解为：变换解为：8浙江大学数学系5.不易找出其通解，但还 是可以找出一些特解任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程举例（未知函数为二元函数）9浙江
3、大学数学系7.拟线性PDE8.拟线性PDE9. 半线性PDE10.半线性PDE11.完全非线性PDE10浙江大学数学系举例(多元函数)拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程11浙江大学数学系二. 定解问题的适定性定解 问题PDE定解条件初值条件边值条件初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题12浙江大学数学系经典的定解问题举例波动方程的初值问题（一维）13浙江大学数学系经典的定解问题举例热传导方程的初值问题（一维）14浙江大学数学系经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题第一边值问题（Dirichlet ） 第二边值问题（Neumann ） 第三边值问题（Robin） 15浙江大学数
4、学系经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题16浙江大学数学系何为适定性？存在性唯一性连续依赖性（稳定性）适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已 知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为 稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应 的定解问题解的偏差也将非常小17浙江大学数学系三. 物理模型与定解问题的导出弦振动方程的导出18浙江大学数学系弦振动方程与定解问题一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内，求 弦上各点位移随时间变化规律。弦上各点作往返运动
5、的主要原因在于弦的张力作用 ，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在 不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以 建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。19浙江大学数学系取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOUOUXPQL在时刻 t ，弦线在 x 点的位移为 u(x, t)OUXPQ 此为上图中PQ 的放大图示20浙江大学数学系假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据 Hooke定律，弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦 的切线方向。21浙江大学数学系(*1 )(*2 )设 为弦的
6、线密度(单位长度的质量)， 为作用在 弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度(单位长度的 力)，根据牛顿第二定律，22浙江大学数学系(*1) 这表明张力的大小与 x 也无关，即常数(*2) ，微分中值定理23浙江大学数学系令，可得微分方程方程弦是均匀的，故 为常数，记方程改写为刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为 弦振动方程。24浙江大学数学系为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程 外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动 将有直接影响，由此必须列出初始条件或者(以及)边界条件已知端点的位移已知在端点受到垂直 于弦的外力的作用已知端点的位移与所受外 力作用的一个线性组合
7、25浙江大学数学系四. 二阶线性方程的分类两个自变量，齐次主部目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程 的主部，从而据此分类。非奇异（1）26浙江大学数学系复合求导27浙江大学数学系系 数 之 间 的 关 系（2）（1）（3）28浙江大学数学系其他系数之间的关系（3*）29浙江大学数学系考虑如若能找到两个相互独立的解那么就作变换从而有（4）30浙江大学数学系假设是方程的特解，则关系式是常微分方程（4）（5）的一般积分。反之亦然。引理由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微 分方程（5）的一般积分。31浙江大学数学系定义称常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程。称（5）的积分曲线为PDE（1）
8、的特征曲线。（6）32浙江大学数学系记定义方程(1)在点M 处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有若在点M处，有若在点M处，有33浙江大学数学系双曲型PDE右端为两相异 的实函数它们的一般积分为由此令，方程（1）可改写为双曲型方程的 第一标准型双曲型方程的 第二标准型34浙江大学数学系抛物型PDE由此得到一般积分为由此令，其中与独立的任意函数。35浙江大学数学系由于由此推出36浙江大学数学系因此，方程（1）可改写为抛物型方程的标准型而37浙江大学数学系椭圆型PDE右端为两相异 的复数由此推出两族复数积分曲线为其中38浙江大学数学系由此令从而方程（1）可改写为， 满足方程（4）椭圆型方程的标准型39浙江大学数学系例1抛物型方程令40浙江大学数学系例2双曲型方程41浙江大学数学系例3Tricomi方程椭圆型双曲型抛物型42浙江大学数学系43浙江大学数学系作业：P.21-22Ex 12, 13 (1,2), 14(1)44浙江大学数学系
