《2017-2018学年高中数学 第二章 基本初等函数(ⅰ)2.3 幂函数学案 新人教a版必修1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 基本初等函数(ⅰ)2.3 幂函数学案 新人教a版必修1(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、12.32.3 幂幂函函数数预习课本 P7778,思考并完成以下问题 (1)幂函数是如何定义的?(2)幂函数的解析式具有什么特点?(3)常见幂函数的图象是什么?它具有哪些性质?新知初探1幂函数的概念函数yx叫做幂函数,其中x是自变量,是常数点睛 幂函数中底数是自变量,而指数函数中指数为自变量2常见幂函数的图象与性质解析式yxyx2yx3y1 xyx1 2图象定义域RRRx|x00,)值域R0,)Ry|y00,)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数解析式yxyx2yx3y1 xyx1 2单调性在(,)上单调递增在(,0上单调递减,在(0,)上单调递增在(,)上单调递增在(,0)上单调递减,
2、在(0,)上单调递减在0,)上单调递增定点(1,1)点睛 幂函数在区间(0,)上,当0 时,yx是增函数;当 ,0.50.5.2 51 3(2 5)(1 3)(2)幂函数yx1在(,0)上是单调递减的,又 1.2 33 5(2 3)(3 5)(3)函数y1x为 R 上的减函数,又 ,(2 3)3 42 32 33 4.(2 3)(2 3)又函数y2x2 3在(0,)上是增函数,且 ,3 42 32 32 3,2 33 4.(3 4)(2 3)(3 4)(2 3)比较幂值大小的方法(1)若指数相同,底数不同,则考虑幂函数;(2)若指数不同,底数相同,则考虑指数函数;(3)若指数与底数都不同,则考
3、虑插入中间数,使这个数的底数与所比较数的一个底数相同,指数与另一个数的指数相同,那么这个数就介于所比较的两数之间,进而比较大比较幂值的大小比较幂值的大小4小 活学活用2比较下列各组值的大小:(1)(0.31)65,0.3565.(2)1.21 2,1.41 2,1.42;解:(1)yx为 R 上的偶函数,6 5(0.31) 650.3165.又函数yx65为0,)上的增函数,且 0.310.35,0.31650.3565,即(0.31) 650.3565.(2)yx1 2在0,)上是增函数,且 1.2m0 Dmn0解析:选 A 由图象可知,两函数在第一象限内递减,故mb;构造指数函数yx,由该
4、函数在定义域内单调递减,所以aaB.(1 2)4如下图所示曲线是幂函数yx在第一象限内的图象,已知取2, 四个值,1 2则对应于曲线C1,C2,C3,C4的指数依次为( )9A2, ,21 21 2B2, ,21 21 2C ,2,2,1 21 2D.2,2,1 21 2解析:选 B 要确定一个幂函数yx在坐标系内的分布特征,就要弄清幂函数yx随着值的改变图象的变化规律随着的变大,幂函数yx的图象在直线x1 的右侧由低向高分布从图中可以看出,直线x1 右侧的图象,由高向低依次为C1,C2,C3,C4,所以C1,C2,C3,C4的指数依次为 2, ,2.1 21 25若(a1) 1 2(32a)
5、 1 2,则a的取值范围是_解析:函数yx1 2在0,)上是增函数,所以Error!解得1a .2 3答案:(1,2 3)6已知函数f(x)x-a1 3在(,0)上是增函数,在(0,)上是减函数,那么最小的正整数_.解析:取值验证1 时,yx0,不满足;2 时,yx-13,在(0,)上是减函数它为奇函数,则在(,0)上也是减函数,不满足;3 时,yx-23满足题意答案:37已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2 在(0,)上单调递增,函数g(x)2xk.(1)求m的值;(2)当x1,2时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若ABA,求实数k的取值范围解:(1)依题意,得(m1)21
6、,解得m0 或m2.当m2 时,f(x)x2在(0,)上单调递减,与题设矛盾,舍去,m0.(2)由(1)可知f(x)x2.10当x1,2时,f(x),g(x)单调递增,A1,4,B2k,4kABA,BA,Error!0k1.实数k的取值范围是0,18已知幂函数f(x)x()mm21(mN*)(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数还经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2a)f(a1)的实2数a的取值范围解:(1)m2mm(m1),mN*,而m与m1 中必有一个为偶数,m(m1)为偶数函数f(x)x(m2m)1(mN*)的定义域为0,),并且在定义域
7、上为增函数(2)函数f(x)经过点(2,),22()mm21,即 21 22()mm21.2m2m2.解得m1 或m2.又mN*,m1.由f(2a)f(a1)得Error!解得 1a .3 2实数a的取值范围为.1,3 2)(时间 120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数yln(2x)的定义域为( )x1A(1,2) B1,2)C(1,2 D1,2解析:选 B 要使解析式有意义,则Error!解得 1x2,所以所求函数的定义域为1,2)2下列函数中定义域与值域相同的是( )Af(x)2
8、 Bf(x)lg1xx11Cf(x) Df(x)2x1lg x解析:选 C A 中,定义域为(0,),值域为(1,);B 中,定义域为(0,),值域为 R;C 中,由 2x1,得x0,所以定义域与值域都是0,);D 中,由 lg x0,得x1,所以定义域为1,),值域为0,)选 C.3下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是( )Ay Byex1 xCyx21 Dylg|x|解析:选 C A 项,y 是奇函数,故不正确;1 xB 项,yex为非奇非偶函数,故不正确;C、D 两项中的两个函数都是偶函数,但yx21 在(0,)上是减函数,ylg|x|在(0,)上是增函数,故选 C.4设
9、alog3,blog ,c3,则( )1 3Aacb BbacCabc Dcba解析:选 A alog31,blog 0,0c31,acb.故选 A.1 35若 loga3m,loga5n,则a2mn的值是( )A15 B75 C45 D225解析:选 C 由 loga3m,得am3,由 loga5n,得an5,a2mn(am)2an32545.6函数f(x)loga(a1)x1在定义域上( )A是增函数 B是减函数C先增后减 D先减后增解析:选 A 当a1 时,ylogat为增函数,t(a1)x1 为增函数,f(x)loga(a1)x1为增函数;当 0a1 时,ylogat为减函数,t(a1
10、)x1 为减函数,f(x)loga(a1)x1为增函数综上,函数f(x)在定义域上是增函数7已知f(x)ax,g(x)logax(a0 且a1),若f(3)g(3)0,则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图象是( )12解析:选 C a0 且a1,f(3)a30,又f(3)g(3)0,g(3)loga30,0a1,f(x)ax在 R 上是减函数,g(x)logax在(0,)上是减函数,故选 C.8已知函数f(x)Error!满足对任意的实数x1x2都有0 成立,fx1fx2 x1x2则实数a的取值范围为( )A(,2) B.(,13 8C(,2 D.13 8,2)解析:选 B 由题意知函数f(
11、x)是 R 上的减函数,于是有Error!由此解得a,即实13 8数a的取值范围是,选 B.(,13 8二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分请把正确答案填在题中横线上)9函数y 的定义域是_1(12)x解析:由已知 1x0,则x10,所以x0.(1 2)(1 2)(1 2)答案:0,)10若 2a6,blog23,则 2ab_,_.a1 b解析:2ab 2.2a 2b6 2log236 3log312.a1 blog261 log23log26log22 log23log212 log23答案:2 log31211已知函数f(x)Error!则f
12、的值为_,f(x) 的解集为_(f(1 9)1 2解析:因为 0,所以flog3log3322,所以f(2)22 .1 9(1 9)1 91 4f(x) 等价于Error!或Error!1 2解得x或1 的解集为x|x或1或10,a1),那么f的值是_(log1 a5)解析:f(1)f(1)log2(1)2log2(1)11.f(x)f(x)log2(22x)1log2(x)x211 2x1x21121.log 5loga5,f(loga5)f1,1 2x11 2x12x 12x1 a(log1 a5)f3.(log1 a5)答案:1 314若函数f(x)Error!且bf(f(f(0),则b
13、_;若yxa24ab是偶函数,且在(0,)上是减函数,则整数a的值是_解析:由分段函数f(x)可得bf(f(f(0)f(f(2)f(1)1.由于yxa24ab在(0,)上是减函数,则a24a10,解得 2a2,由于a为55整数,则a0,1,2,3,4.检验:只有当a1,3 时,函数yx4为偶函数故a的值为 1或 3.答案:1 1 或 315如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数ylogx,yx,yx的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标221 2(22)轴若点A的纵坐标为 2,则点D的坐标为_解析:由图象可知,点A(xA,2)在函数ylogx的图象上,所以 2logxA,xA22222 .(22)1 2点B(xB,2)在函数yx的图象上,所以 2(xB) ,xB4.1 21 2所以点C(4,yC)在函数yx的图象上,(22)14所以yC4 .(22)1 4又xDxA ,yDyC ,1 21 4所以点D的坐标为.(1 2,1 4)答案:(1 2,1 4)三、解答题(本小题满分本大题共 5 小题,共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分 14 分)计算:(1)00.5 ;121(3 5)(9 4)4 2e4(2)lg 500lg lg 6450(lg 2lg 5)2.8 51 2解:(1)原式11 e e.22 322