《矢量的标积和矢量的正交》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矢量的标积和矢量的正交（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、量子化学量子化学第三章第三章 矩阵与算符矩阵与算符3.1线性代数线性代数(LinearAlgebra)3.2矩阵矩阵(Matrices)3.3行列式行列式(Determinants)3.4算符算符(Operators)3.5量子力学的基本假设量子力学的基本假设1. 1. 三维矢量代数三维矢量代数三维矢量：(3.1)(3.2)列矩阵(Columnmatrix)a=,a=(3.3a-3b)海淘点积(dotproduct)(3.4)(3.5)相 互 正 交 基 矢 (mutually orthogonal basisvectors)(3.6)利用正交关系(3.6)式有(3.1)式可该写为(3.6)单
2、位并矢式(unitdyadic)其中，(3.7)(3.7)亦称基底的完备性条件，即任何一矢量可表示为基向量的线性组合。2行矢和列矢行矢和列矢n个分量分别由行矩阵和列矩阵表示。(3.8)3Dirac符号符号行矢左矢（bravector），以表示.列矢右矢（ketvector）, 以|表示.H=转置+共轭(3.9)4 4 矢量的标积和矢量的正交矢量的标积和矢量的正交(3.10)括号-标积，bra&ket由bracket而得.连续函数如果=0，称X和Y正交。当X=Y时，XHX的平方根称为矢量X的长度或模(norm),即(3.11)3.2矩阵(Matrices)1 1 矩阵的定义矩阵的定义(3.12)
3、2 2 矩阵的运算矩阵的运算相等A=B,aij=bij(3.13)加法A+B=C,cij=aij+bij(3.14)数乘A=C,cij=aij(3.15)对易纪律和结合律A+B=B+A，A=AA+(B+C）=(A+B)+C(3.16)(a+b)A=aA+bA,(A+B)=A+B矩阵和矩阵相乘矩阵和矩阵相乘nmmknk(i=1,2,n,j=1,2,k)(3.17)例1一般而言ABBA,即矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律ABC=A(BC)=(AB)C转置矩阵、共轭矩阵、转置共轭矩阵转置矩阵、共轭矩阵、转置共轭矩阵A=aijnmAT=ajimnA*=aij*nm例2(3.18)如果F=ABCX则F
4、H=(ABCX)H=XHCHBHA(3.19)3 3 方阵与对角阵方阵与对角阵 方阵：方阵：行和列相等行和列相等（n=m）. 对对角角阵阵：除除对对角角线线上上各各元元素素外外，其其余余都都是是 零的方阵。零的方阵。 4 单位矩阵和纯量矩阵Unitmatrix:Scalarmatrix:IA=AI,In=ISA=AS(3.20)5 5 方阵的逆方阵的逆A-1A=AA-1=I(AB)-1=B-1A-1(3.21)6Hermite矩阵和矩阵和Unitary矩阵矩阵Hermitesymmetricmatrix:A=AHaij=aji*(3.22)Unitarymatrix:A-1=AH.(3.23)
5、A=AH7方阵的迹(Trace)(3.24)3.3行列式行列式(Determinants) 列指标的置换(permutation).pi为将置换还原所 需对换的数目。(-1)pi称为置换Pi的宇称，偶宇称取+1和奇宇称取 1. 行列式的计算行列式的计算(3.25)S3=Pip0 = 0p1 = 1 p2 = 1p3 = 1p4 = 2p5 = 2例3|A|=a11a22a33a12a21a33a13a22a31a11a23a32a12a23a31a13a21a322. 2. 行列式的展开行列式的展开=(i=1,2,n)=(j=1,2,n)(3.26)Aij称为aij的余子式-去掉行列式|A|的
6、i行和j列元素后剩下的子行列式。例4 = a11a22a33a11a23a32a12a21a33a12a23a31a13a21a32a13a22a313.4 算符算符(Operators)算符算符：算符是把一个函数变为另一个函数的数学运算符号。如微分算符， ；位置算符x, x f(x) = xf(x).1算符的加法和乘法算符的加法和乘法如果 = + ， 则 = + 算符相加如果 = （）， 则 = 算符乘法2 2 算符的对易算符的对易若, 称 与 对易，反之非对易。一般情况下，算符的乘法不对易。定义 A, B = AB BA 对易关系式例5Dxf(x)=D(xf(x) = f(x) + xf(
7、x) xDf(x)= xf(x) = xf(x)Dxf(x)=(I + xD)f(x) or Dx = I + xDExercise令求3 3 算符的平方算符的平方2 = 4 4 线性算符线性算符如果 c1f1(x) + c2f2(x) = c1 f1(x) + c2 f2(x)则 为线性算符。一般而言，也是线性算符 an(x) n + an-1(x) n-1 + + a1(x) + a0(x) (3.27)线性算符满足下列等式(3.28)5 5 本征函数、本征值和本征方程本征函数、本征值和本征方程(Eigenfunctions,eigenvaluesandeigenequation)如果算符
8、作用于f(x)等于某一常数乘以f(x)，即 f(x) = k f(x) (3.29)f(x)本征函数，k本征值。Schroedinger方程Schroedinger方程的算符形式(3.30)其中(3.31)Hamilton算符，2Laplace算符。6 6 算符与量子力学算符与量子力学经典力学量子力学与时间有关的Schroedinger方程(3.32)(3.33)7 7 平均值平均值(Averagevalues)(3.35)例6令求.8Hermite算符算符(3.36)在量子力学中常用线性算符 表示力学量G，由(3.35)可求得力学量的平均值(3.37)由于力学量为实数，则量子力学中表示力学量
9、的算符一定是线性Hermite算符。3.5 3.5 量子力学的基本假设量子力学的基本假设1基本概念基本概念力力学学量量：时间、位置、速度、质量、角动量、势能、动能、总能量等。状态函数状态函数描述微观体系的状态；算符：2基本假设基本假设假设假设I状态函数和几率。假设假设II力学量与线性Hermite算符。 力学量及其算符力学量算符时间t位置qi动量pi角动量Mz=xpy-ypz动能总能H=T+V假设假设III力学量的本征状态和本征值(3.38)微观体系的力学量G在状态(q,t)下具有确定的值G0,G0称为G的本征值，(q,t)称为G的本征状态，(3.38)称为G的本征方程。定理定理：线性Hermite算符 属于不同本征值的本征函数相互正交。，(3.39)若gi组成分立谱，本征函数i可归一化 (3.40)合并(3.39)和(3.40)式(3.41)满足(3.41)式的函数集合i，称为正交归一集合。可以证明这一集合组成完全集合(completeset).即任何函数f(x)可由集合表示 (3.42)态叠加原理(3.43)假设假设IV态随时间变化的Schroedinger方程(3.44)Schroedinger方程的第二式。假设假设IVPauli互不相容原理（自旋假定）非相对论量子力学的补充假设，在Dirac相对论量子力学，自旋是其理论的自然结论
