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1、三、异方差性1、异方差的概念2、异方差产生的原因3、异方差性的后果4、异方差性的检验5、异方差的修正对于模型如果出现即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。1、异方差的概念异方差的类型同方差：i2 = 常数 f(Xi)异方差：i2 = f(Xi)异方差一般可归结为三种类型：(1)单调递增型： i2随X的增大而增大(2)单调递减型： i2随X的增大而减小(3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式由于随机扰动项包含了所有无法用解释变量表示的各种 因素对被解释变量的影响，如果其中某一因素或某些因素随 着解释变量观
2、测值的不同而对被解释变量产生不同的影响，则往往产生异方差性。一般来说，异方差性主要出现在截面数据中，这是因为 在截面数据中通常处理的是某一确定时点上的样本，而这些 样本往往会有不同的规模或水平，将这些具有不同规模或水 平的样本放在一个总体里进行研究，就不能保证随机扰动项 偏离均值的程度（即方差）不变了，所以在截面数据中容易 出现异方差性。2、异方差产生的原因例1 用截面资料，研究居民家庭的储蓄行为:Yi=0+1Xi+uiYi: 第i个家庭的储蓄额 ,Xi: 第i个家庭的可支配收入。高收入家庭：储蓄的差异较大低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小ui的方差呈现单调递增型变化为随机扰动项，包含了除
3、收入因素以外其他因素对需求量的影响，如消费习惯、气候因素等。显然，对于高收入的消费者，在气候异常时会拿出较多 的钱购买衣服，而低收入的消费者则不会拿出较多的钱购买 衣服，这时对于不同的消费者收入 , 偏离均值的程度 就不同，因此 不会为常数，于是就存在了异方差性 。 ui的方差呈现单调递增型变化例2 以某一时间截面上不同收入组的数据为样本来研究对服装 的需求问题，为对服装的需求量，其中为收入； 设其模型为例3 研究某一时间内学习打字的人员打字差错数Yt与打字实 习小时数Xt之间的关系。设其模型为显然人们在学习打字时，打字差错数会随着打字实习时 间的增加而减少，这时Yt偏离均值的程度随着打字实习
4、时间 的增加而减少，所以Var(ut)也会随着打字实习时间的增加而 减少，不会是恒定不变的，因此ut不再具有同方差性。ut的方差呈现单调递减型变化时间序列数据中，有时也会出现异方差性。3、异方差性存在的后果计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：(1)参数估计量为无偏估计量，但非有效OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(UU)=2I而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。(2)变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验中，构造了t统计量其他检验也是如此。(3)模型的预测失效一方面，由于
5、上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；所以，当模型出现异方差性时，参数OLS 估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。4、异方差性的检验 检验思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量观 测值，随机扰动项具有不同的方差。那么： 检验异方差性，也就是检验随机扰动项的方差与解释 变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。问题在于用什么来表示随机扰动项的方差呢?一般的处理方法：首先采用 OLS 法估计模型，以求得随机误差项的估计量（注意，该估计量是不严格的），我们称之为“近似估计量 ”，用ei表示。于是有几种异方差的检验方法：（1）图示法（10）用X-Y的散点
6、图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）常用的检验方法有： 图示法 斯皮尔曼等级相关检验法(Spearman Rank Relation test) 戈德弗尔德匡特检验法(Goldfeld Quandt test) 格里瑟检验法（Glesjer test） 帕克检验法（Park test） 怀特检验法 (Whites General Heteroscedasticity test)看是否形成一斜率为零的直线(20)X-ei2的散点图进行判断由于扰动项无法观测，因而用残差代替之，转化为对ei与Xi的相关程度的研究，若ei与Xi高度相关，则可推断异方差性存在
7、。在此无法用相关系数来检验，因为ei与Xi的相关系数恒等于0：因而改用Xi和ei 的等级相关系数检验ei和Xi的相关程度。思路：将异方差性与扰动项u和某个解释变量X之间的相关程度 挂钩（即 与 Xi 的大小有关），从而将对异方差性的研究转 化为对ui与Xi的相关程度的研究。（2）斯皮尔曼等级相关检验法等级相关系数的计算步骤（1）用OLS方法对模型进行回归，得ei （2）将|ei|和Xi分别按升序（或降序）排序，所得到的序号即为等级。 （3）计算两变量各观测值相应的等级之差di.（4）计算等级相关系数（5）检验H0：S=0。其中S为总体等级相关系数。可证明：当n8时， H0成立时，例4：等级相关
8、系数的计算。假设我们有Xt和et如下：Xt 25， 40， 52， 58， 65et 1.6，-2.9，-10.7，14.8， 5.7则 et 1.6， 2.9， 10.7， 14.8， 5.7Xt的等级 et的等级 dt 1 1 02 2 03 4 -14 5 -15 3 2 rS = 1 (6*6)/(5*24) = 1 - 0.3 = 0.7计算出等级相关系数后，就可判断异方差性是否存在。若 相关系数绝对值高，则存在异方差性。对于多个解释变量的情况，可分别计算et与各解释变 量的等级相关系数进行检验。思路：假定 随Yt的数值大小变动。检验步骤：（10）将数据分为三组：小Yt值组，中Yt值
9、组，大Yt值组（数据项大致相等） （20）对小Yt值组估计模型，给出（30）对大Yt值组估计模型，给出（3）戈德弗尔德匡特检验法（40） H0： H1： （或 ）检验统计量为F0 = F（n3-k-1, n1-k-1）或 F0= F（n1-k-1, n3-k-1）若F0F，则拒绝H0，存在异方差性。当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。 例5：S=+Y + u 其中：S=储蓄 Y=收入设 195160年， =0.01625197079年， =0.9725 F0 = 0.9725/0.01625=59.9查表得: d.f.为（8，8）时，=5%时，F=3
10、.44F0F 因而拒绝H0。结论：存在异方差性。(4)格里瑟(Gleiser)检验与帕克(Park)检验思想: 假定i2与某一个解释变释变 量Xji之间间存在函 数关系，即可建立下面模型：选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一 种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模 型存在异方差性。如： 帕克检验常用的函数形式：若在统计上是显著的，表明存在异方差性。（4）怀特（White）检验怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差。怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：然后做如下辅助回归可以证明，在同方差假设下：(*)R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的
11、个数， 在此h=5.表示渐近服从某分布。注意： 辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变 量的更高次方。如果存在异方差性，则表明确与解释变量的 某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较 高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时 可去掉交叉项。下面用矩阵形式的模型来推导出GLS估计量的 一般计算公式。设模型为 Y=X+U （1） 满足 E(U）= 0，E(UU)=2， X 非随机，X的秩=k+1n, 其中为正定矩阵。 5、异方差的修正模型检验出存在异方差性时，进行修正的基本思
12、想是：变换原模型，然后对变 换后的模型进行估计。(1) 广义最小二乘法(GLS)根据矩阵代数知识可知，对于任一正定矩阵，存在着 一个满秩（非退化，非奇异）矩阵P，使得用P-1左乘原模型（1）（对原模型进行变换）：令 Y* = P-1Y ，X* = P-1X，U* = P-1U，得到Y*= X*+ U* （2）下面的问题是，模型（2）的扰动项U*是否 满足OLS法 的基本假设条件。我们有这表明，模型（2）中的扰动项U*满足OLS法的基本假设， 可直接用OLS估计，估计量向量这就是 的广义最小二乘估计量（GLS估计量）的公式，该 估计量是BLUE。从上述证明过程可知，我们可将GLS法应用于为任意正
13、定 矩阵的情形。如果只存在异方差性，则其中我们显然有加权最小二乘法是对绝对值较小的残差平方 赋予较大的权数,对绝对值较大的残差平方赋予较 小的权数,然后进行求和，再求使加权平方和达到 最小的参数估计值，即(2) 加权最小二乘法(WLS)得到的参数估计值称为加权最小二乘估计量。 求加权最小二乘估计量等价于，按下面方式 变换模型，再用OLS法求参数估计值。若扰动项满足 E(ui) = 0，E(uiuj) = 0, ij，但E(ui2) =i2 常数.也就是说，该模型只有同方差性这一条件不满足，且Var(ui) = 2wi ，i=1，2，n其中2为未知常数， wi 表示一组已知数值，则用wi 按下面
14、方式变换模型:对于模型Yi = 0+1X1i+k Xki+ ui由于所以变换后的扰动项的方差为常数，对此模型应用OLS法进行估计，得到的参数估计量即为广义最小二乘估计量，且是BLUE。所以加权最小二乘估计是广义最小二乘估计的特例。在新模型中，有 即满足同方差性，可用OLS法估计。例6 如果对一多元模型，经检验知：分两种类型（1）i2结结构已知，利用广义义最小二乘法；（2）i2结结构未知，利用格里瑟检验检验 法估计计异方差的形式，变换变换 模型，再利用广义最小二乘法。 注意：在实际操作中人们通常采用如下的经验方法：不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择广义最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时
15、。如果确实存在异方差，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则广义最小二乘法等价于普通最小二乘法。 如何得到2 ？从前面的推导过程看，它来自于原模型残差项U 的方差协方差矩阵。因此仍对原模型进行OLS 估计，得到随机误差项的近似估计量i，以此构成 矩阵2的估计结果，即显然再用广义最小二乘估计式求得参数的估计量即可，也 可直接用加权最小二乘法进行估计，这时权矩阵为：加权平方和为：例7:建立中国农村居民人均消费函数 中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收 入来决定。农村人均纯收入包括：(1)从事农业经营的收 入；(2)包括从事其他产业的经营性收入(3)工资 性收入；(4)财产收入；(4)转移支付收入。考察从事农业经营的收入(X1)和其他收入 (X2)对中国农村居民消费支出(Y)增长的影响,建立下面模型:人均 从事农业 其它消费 经营的 收入支出Y 收入X1 X2
