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1、 线性代数课程结构简图未知数个 数与方程 个数相等行列式矩 阵线性代数方程组未知数个 数与方程 个数不等向 量 空 间n1第四章 线性方程组第一节 高斯消元法第二节 n维向量空间第三节 向量组的线性相关性第四节 向量组的秩第五节 线性方程组解的结构n2解集合：解的全体第一节 高斯消元法 方程组最一般的表达形式：n3解方程组：求出解集合n4n5n6两个方程组同解：方程组有相同解集合相容方程组：方程组有解， 或者说解集合不为空集不相容方程组：方程组无解， 或者说解集合为空集一些基本概念问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，则解是否唯一？ 问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？
2、n7方程组的初等变换：高斯消元法（1） 互换两个方程的位置 （2） 用一个非零数乘某个方程的两边 （3） 将一个方程的两边同乘以某常数 加到另一个方程对线性方程组施行初等变换后 ，新方程组与原方程组同解。例题：见课本P87页例题1.1,1.2,1.3n8系数 矩阵未知量 矩阵常数项 矩阵方程组的矩阵表达形式：n9增广矩阵方程组 Ax=b 与增广矩阵存在一一对应关系：这是线性代数中最基本的一次抽象，将方程组与 增广矩阵一一对应起来，从而对方程组 的研究转化为 对矩阵的研究（行列式，秩，初等变换等）。n10一一对应n11从课本例题介绍的消元法我们知道，消元法实质上是利用一系列方程组的初等变换将其
3、变成同解的阶梯形方程组.因此消元法也可看作是对其增广矩阵实行 一系列初等行变换化为阶梯矩阵的过程.n12线性方程组解法讨论方程组的初等变换对应于增广矩阵的初等行变换增广矩阵初等行变换 阶梯型矩阵由增广矩阵经过一系列初等行变 换得到的阶梯型矩阵，它对应的 方程组与原先的方程组同解。n13与方程组求解过程比较，所有的增广 矩阵均可化为如下形式的阶梯矩阵阶梯型矩阵中可能有全为零的行，对应 的均为多余的方程n14阶梯型矩阵对应于一个新的方程组方程组有解n15我们得到方程组解的一般表达式（通解）：n16通解为n17n18本节主要定理：线性方程组解的情形n19齐次线性方程组解的情形（b=0）n20推论1：当A为n阶方阵时，齐次线性方程 组只有零解当且仅当det(A)不为零； 有非零解当且仅当det(A)等于零。推论2：当A的行数小于列数(即方程组中 方程的个数小于未知数的个数)时，齐次 线性方程组一定有非零解。因为例题解n21n22考虑: 1.有无解2.有解(唯一解还是无穷多解)讨论:n23最后的阶梯型矩阵对应的线性方程组为其通解为n24方法2：由本题的特点，方程组中方程的个 数与未知量个数一样,可想到先求系数行列 式,然后利用克莱姆法则n25n26本周作业：自习课本例题1.1例题1.5，准确表达方程组的通解 习题四 P1101(1)，3，5，6，20(2)n27
