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1、2.4 极限的性质与四则运算法则一、性质性质1(唯一性) 若极限lim f(x)存在，则极限唯一。注 此定理对数列也成立。性质2(局部有界性 )注 1、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范围确定。 2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由具体函数确定。Date1性质3(局部保号性)性质4注性质5Date2二、四则运算法则根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数 (x)的极限, 而不能求出函数(x)的极限. 为了解决极限的计 算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些已知结果来求函数极限。定理Date3推论1常数因子可以提到极限记号外面. 推论2推论3推论
2、4推论5Date4注应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非负等；定理和推论中C、n、a都是与自变量无关的常量。 如(3)参加求极限的函数应为有限个。 Date5况)时可直接代入。例利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。1、代入法答案注意 代入时把所有x都换成x0，不能只代入一部分。Date6例1解Date7例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得Date82、消零法若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。例计算过程Date9x3-x2-16x-20= x3+2x2-3
3、x2-6x-10x-20=x2 (x+2) -3x (x+2) -10 (x+2) = (x+2) (x2 -3x-10)= (x+2) (x+2) (x-5) 注意从高次幂到低次幂依次配项Date例3解Date113、消最大公因子法练习答案 0同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、分母除以最高次数的项。例计算过程很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数以及(次数相等时)最高次项的系数有关。Date12分子、分母同除以最高次幂Date例5解例4解Date14例6解先变形再求极限.Date15备忘消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。例计算过程注Date16分子、分母同
4、除以“最大项”Date4、有理化法若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之 有理化。 例计算过程练习答案当x-时结果为-(a+b)，故x 时极限不存在Date18平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)立方差公式 a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b)Date例7解Date205、通分法例答案练习答案 -1Date216、变量代换法例方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之改变)。练习答案 不存在。计算过程提 示 取t满足xt=1，则 x0-时t-； x0+时t+。Date22为把两个根号同时去掉,做变量代换当x1时t1，因此消零法。例如对分子：-tm+1 = -tm +tm-1 tm-1 +tm-2 - t+1 =(-tm-1 tm-2- 1)(t-1)本题也可以用有理化法计算Date7、其他必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。例答案 1练习答案 1Date24计算极限思考题Date25Date
